算法：NP问题，NP完全问题（NPC），NPhard问题

在做计算机算法关于NP完全问题这一章的作业的时候，发现有很多概念理解的不是很透彻，然后就反复看老师的讲义，在网上查阅各种资料，花了很多时间来弄懂这块的内容。发现书上的概念太正式，定义太标准，不容易很快理解，而网上的资料有些地方论述的不够全面，像我这样的新手在遇到NP家族的概念和问题的时候就很容易懵逼…因此在此将我的心得与整理的资料放在这里，一方面供我以后自己参考，避免又搞混，一方面和大家进行交流。

一、概念介绍

下面就对这些令人头疼的概念做个简单的介绍和对比：

1. P类问题

这类问题是最简单的一类问题，即所有这类问题都可以用一个确定性算法在多项式时间内求出解。此类问题的复杂度是此类问题的一个实例的规模n的多项式函数。比如排序问题，求最短路径问题等。

2. NP（Non-deterministic Polynomial，即多项式复杂程度的非确定性问题）问题

有些问题很难找到多项式时间的解法（也许根本就不存在），但是如果给出了该问题的一个解，我们可以在多项式时间内判断这个解是否正确，比如对于哈密尔顿回路问题，如果给出一个任意的回路，我们可以很容易的判断出该回路是否是哈密尔顿回路（看是不是所有顶点都在回路中)。

P类问题是NP问题的子集，原因是P类问题既然能在多项式时间内求解，也必然能在多项式时间在验证它的解，满足NP类问题的定义。

3. NP完全问题（NPC）

如果所有NP问题都能在多项式时间内转化为A，则称A为NPC问题。

NPC是NP的子集。

4. NP-hard问题（NPH，NP困难问题）

问题A不一定是一个NP问题，但所有的NPC问题都可以在多项式时间内转化为A，则称A为NPH问题。

二、其他知识

1. NPC问题一定是NP困难问题

根据NP完全问题和NP困难问题的定义可以发现，NP完全问题A的定义中，除了要求对于所有别的判定问题A’ ∈NP，都有A’ ∝A，还要求A∈NP，而NP困难问题不一定是NP问题，所以可以看出NP完全问题是NP困难问题的子集，所以NP完全问题一定都是NP困难问题。

2.NP困难问题中包含的一些问题是既不属于NP也不属于P类问题的，一个典型的例子就是第k个最重子集问题。

3.证明一个新问题A是NPC问题的方法：

a.证明A∈NP；

b.选取一个已知的NPC问题B；

c.构造一个从B到A的变换f；

d.证明f为一个多项式变换。

这里一个关键的问题是如何选取参照物B和构造多项式变换f。在实际的证明中参照物的选择带有一定的经验性，已知的NPC问题越多越有利。第一个被证明的NPC问题是sat问题（可满足性问题），这个开创性的工作是由COOK完成的，自从他证明了sat问题是NPC问题以来，人们已经发现并证明了数千个NPC问题，如0/1背包问题和哈密尔顿回路问题等。

4.几个典型的NPC问题

三维匹配问题(3 dimensional matching,3DM)；三元精确覆盖问题(exact cover by 3-set,X3C)；顶点覆盖问题(vertex cover,VC)；

哈密尔顿回路问题（Hamiltonian circuit,HC）；划分问题(PARTS)；三元可满足性问题（3SAT)；团问题（CLIQUE)；0/1背包（判定）问题（0/1KPS）

暂时先写这么多，本人水平有限，可能有些讲的不清楚的地方，欢迎批评指正。

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