证明：hitting set是NP完全问题

《算法概论》P266 8.9

首先证明hitting set（我暂且翻译为击中集）是一个NP问题。给定该问题的一个实例，包括一组集合{S1,S2,...,Sn}，大小限制b，再给定问题的一个可能解H，我们可以在多项式时间内判断以下命题的真假：1.H中元素的数量不超过b；2.{S1,S2,...Sn}中每一个集合都至少有一个元素出现在H中。H是击中集问题的解当且仅当上面的命题均为真。也就是说，击中集问题能在多项式时间内验证解的正确性，所以它是NP问题。

然后，证明顶点覆盖问题（vertex cover）可以归约到击中集问题。设顶点覆盖问题的输入是 (G,g)，其中G=(V,E)是一个图，V是顶点集合，E是边集，g是要求的顶点覆盖的大小。证明如下：

(G,g)可以在多项式时间内转化成击中集问题的输入，方法如下：对G中的每一条边ei构造一个集合Si，Si中的元素为ei连接的两个顶点，击中集的budget为g。
如果击中集问题有解，即存在H与每个集合相交都不为空集，那么每个集合Si中至少有一个元素在H中。H、Si中的元素均对应G中的顶点，显然每条边ei连接的两个顶点中至少有一个在H中，H是G的顶点覆盖。而且H的大小不超过budget，budget为g，所以G一定有大小为g的顶点覆盖，即顶点覆盖问题有解。
如果顶点覆盖问题有解，即存在大小为g的顶点集合VC，每条边的两个顶点至少有一个在VC中。因为每条边ei对应一个集合Si，那么每个集合中至少有一个元素在VC中，并且VC的大小不超过budget，所以VC是击中集问题的解。
如果击中集有解，该解可以在多项式时间内转换成顶点覆盖问题的解。实际上，由于每个集合Si中的元素都为顶点，击中集的解直接就是顶点覆盖问题的解。

至此，我们证明了顶点覆盖问题可以归约到击中集问题。顶点覆盖问题已被证明是NP完全问题，即任一个NP问题都能归约到顶点覆盖问题，根据归约的传递性，任意NP问题可以归约到击中集问题。又因为击中集问题是NP问题，所以击中集问题是NP完全问题。

转载于:https://my.oschina.net/cofama/blog/1093922

证明：hitting set是NP完全问题相关推荐

【计算理论】计算复杂性 ( 无向图独立集问题 | 独立集问题是 NP 完全问题证明思路 | 证明独立集问题是 NP 完全问题 )
文章目录一.独立集问题二.独立集问题是 NP 完全问题证明思路二.证明独立集问题是 NP 完全问题一.独立集问题无向图的独立集 , 指的是在无向图中找到点集的子集 , 使得它们两两之间 , ...
【计算理论】计算复杂性 ( 证明团问题是 NP 完全问题 )
文章目录一.团问题是 NP 完全问题证明思路二.证明团问题是 NP 完全问题一.团问题是 NP 完全问题证明思路证明一个命题是 NP\rm NPNP 完全问题 : ① 证明是 NP\rm ...
证明HITTING SET 是NP完全
In the HITTING SET problem, we are given a family of sets {S1, S2, - , Sn} and a budget b, and we wi ...
8.3 证明STINGY SAT是NP完全问题
题目 STINGY SAT is the following problem: given a set of clauses(each a disjunction of literals) and a ...
【计算理论】计算复杂性 ( NP 完全问题 - 布尔可满足性问题 ★ | 布尔可满足性问题是 NP 完全问题证明思路 ) ★
文章目录一.NP 完全问题 - 布尔可满足性问题 ★ 二.布尔可满足性问题是 NP 完全问题证明思路一.NP 完全问题 - 布尔可满足性问题 ★ 布尔可满足性问题 ( Boolean Satisf ...
证明碰撞集（HITTING SET）问题是NP完全问题
问题描述: 给定一组集合{S1,S2,S3,-,Sn}和预算b,求一个集合H,其中H和所有Si相交且H的规模不超过b.求证该问题是NP完全问题证明: (1)先证该问题是一个NP问题. 假设给出集合H ...
NP完全问题的归约-碰撞集(HITTING SET)
原题: 在碰撞集(HITTING SET)问题中,给定一组集合{S1, S2, S3, -, Sn}和预算b,我们希望求一个与所有Si相交且规模不超过b的集合H(H与所有Si相交不为空). 证明: ( ...
【计算理论】计算复杂性 ( 3-SAT 是 NP 完全问题 | 团问题是 NP 完全问题 | 团问题是 NP 完全问题证明思路 )
文章目录一.3-SAT 是 NP 完全问题二.团问题是 NP 完全问题三.团问题是 NP 完全问题证明思路一.3-SAT 是 NP 完全问题布尔可满足性问题 ( Boolean Satis ...
算法4类问题：P问题、NP问题、NP完全问题、NP难问题
在讲P类问题之前先介绍两个个概念:多项式,时间复杂度. 1.多项式:axn-bxn-1+c 称为x最高次为n的多项式 2.时间复杂度时间复杂度表示所需的计算工作量,当输入值接近无穷时,算法所需工作量 ...

证明：hitting set是NP完全问题

证明：hitting set是NP完全问题相关推荐

最新文章

热门文章