根式为什么是根式？（我可能疯了？）

最近一直在看Galois理论，似乎有点魔怔了。我总觉得有一个地方非常的跳跃，很不自然，似乎是一种人为的定义，而这种定义还能有别的形式。

简单的说，我觉得根式的存在非常诡异，到底是根式先存在，还是对称性先存在？为什么根式就是这种形式呢，它为什么就是对称的呢？

如果说我们先定义了根式的存在，那么整个Galois理论就是在附和根式的存在形式。然而Galois理论确描述了某种更基本的存在，他不应该和根式绑定在一起，这毫无道理可言。你不能说，就是为了把求根公式用我们规定的某种形式的被称为根式的表达式表达出来，我就强行要求群必须满足交换律。

一种更合理的解释应该是，我们有很多种表达根式的方法，我们目前所见到的只是根式宇宙中的一种！而这种根式的存在正好对应了阿贝尔群这种对称性，然而阿贝尔群所描述的对称性只是对称性宇宙中的沧海一粟！我们因为直觉而选择了目前所用的根式表达式，因为它最简洁，因为它在复平面里面是一个完美的圆，具有最基础的对称性。然而，也正是因为如此，它的表达能力才是有限的，所以我们无法描述一般五次多项式的求根公式！

我强烈的感觉我们的数学误入歧途了，我们忽视了某种别的代数形式的存在，我们天真的以为加减乘除以及平方求根都是可以混为一谈的，实际上确不是的！就如同在解决计算机中的搜索问题一样，我们依据最简单的直觉贪心的选择了最直观简单的路径，确忽视了别的路径的存在。我们将目前的代数运算称为公理，确从未真正的思考过它为何是今天这个样子的。

从最简单的加法入手，我们将乘法定义在加法之上，但实际上是为某种递归运算定义了一个参数。比如说，1+1+1=3，我们执行了两次加法运算，所以将乘法定义为F(n=1,d=3)=ite(d>3,n,n+F(n,d+1)). 这毫无问题，问题出现在我们试图去求逆运算时，我们的认知总是会被打破，一定会出现扩域，也就是新的存在。那么为什么逆运算的形式是唯一的？我只要保证它不破坏原有的域的运算结果就可以了，至于在新的域里面，它们要满足什么运算规则，那完全随便了，所以为什么要a/b+c/d=(ad+cb)/bd?这是谁规定的？要我说，a/b，c/d如果都不在原来的域里面，那a/b+c/d的运算方式就是未定义的，你怎么就一定要是(ad+cb)/bd这种形式呢？到底是一种什么样的法则让我们觉得a/b+c/d=(ad+cb)/bd是必须的且唯一的？

如果乘法的逆运算不足以让我觉得诧异，那乘方的逆运算就已经开始让事情看上去不正常了。乘方可以看做是定义在乘法之上的递归运算。当我们求n次方根的时候，我们实际上是想找一个表达式去表示所有的x^n=1的根。一共有n个根，但是为什么我们一定要求这n个根满足某种对称性呢，为啥它们非要整齐的排列在复平面里的一个圆上面呢？

Galois理论说是为了展现出根与根之间的关系，更确切的说，我们似乎在追求一种代数关系，使得自同构可以被表达成某种已知的代数运算。啊！这就是原因了。因为我们想把根与根之间的自同构表示成加减乘除这种简单的运算，所以我们要求这些根必须排列在一个圆上面。我们无法接受抽象的自同构，无法接受无法用已有的代数表达出来的关系。这一切的一切，形成了一个逻辑闭环，锁死了我们的思维，将我们的代数困在了阿贝尔群上面！

所以，难怪当我问别人，为什么方程根式可解的充要条件和阿贝尔群有关？为什么我们一定要将正规子群定义在交换律上面。得到的答案都是为了满足根式的代数性质。所以实际上我们为了根式是这样而把根式定义成了这样！而我所发现的，是根式和群不应该耦合在一起。根式只是某种表达式，而群是更基础的存在。我们选择了现在这种根式，所以我们被导向了阿贝尔群，所以我们发现5次以及以上方程无法表达出来。这都是我们自己选择的结果。而事实上，布灵根式的存在说明不同的选择将会给出完全不同的结果。我们不应该拘泥于阿贝尔群，不应该被交换律所约束！

我相信，一定存在某个宇宙，在那里5-3=2，但是3-5！=-2，他们把运算和逆运算分开来对待，他们甚至把加法和乘法分开来对待。在那个宇宙里1+1=2,2*3=6，但是（1+1）+（2*3）确不是8，因为运算的类型不同，1+1=2是加类，而2*3是乘类，类型不同运算规则是未定义的，你怎么就能随便把两个数相加呢？这就像把整数和字符串相加一样的疯狂！

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