近 世 代 数 系 列 6本期导言回顾下Galois的定理: 假设f(x)为有理系数多项式。f(x) = 0可以根式解当且仅当f(x)的Galois群是可解群。这告诉我们, 要判断f(x)是否可以根式是否可以根式解总共分两步:

• 求出f(x)的Galois群Gal(f)

• 判断Gal(f)是否是可解

比把大象装进冰箱少一步!如果跟另外一个人来分摊这两个工作的话, 像我这么懒的人, 肯定最先举手: 我做第二步!实际上第一步真的很难: 现在并没有一个统一的算法可以确定有理多项式的Galois群。我们知道一个群可解是意思是存在一个条件比较苛刻的子群序列, 也就是说如果你知道一个群的所有子群和它们之间的关系, 就应该能判断一个群是否可解。既然我们挑了一个自认为比较简单的, 我们就立个flag: 抽象的研究一个群的子群及子群之间的关系!1搜寻子群现在开始, 我们就抽象的来讨论群的子群。假设(G, ⋅)是一个群, 我们省略其中的运算“⋅”, 将a ⋅ b记为ab.现在我们就开始满世界找G的子群!在头脑里努力的回忆子群的样子: 假设H是G的一个子集.那么H是G的子群当且仅当下面的条件成立

• G的单位元e要在H中

• H对运算封闭

  ∀a, b ∊ H,  ab ∊ H

• H对取逆封闭

  ∀a ∊ H,  a在G中的逆a⁻¹ ∊ H

有了这把“尚方宝剑”, 我们就可以开始“搜查”所有G的子集, 一个个“审问”看它们是不是G的子群!但当G的元素个数(称为G的阶数)稍微有点大时(比如16), 这样的子集就多得不得了(2¹⁶个), 要把它们一个个“审完”, 咱们这辈子也不用做啥别的事了。所以这样蛮干是不行的!必须要先查一些“可疑”的子集!哪些是可疑的子集呢?以前考虑一个域F上向量空间V 的子空间的时候, 对于任意V 中的向量α, 我们都能找出一个子空间: ⟨α⟩ := {λα∣λ ∊ F}我们是否可以利用这个经验?2循环子群现在假设a ∊G是G中的一个元素.上面的问题就是说, 能否从a出发找出一个与此相关的G的子群。我们假想a在G的一个子群H中。根据上面的子群判断标准

• e ∊ H

• aa ∊ H

• aaa ∊ H

• aaaa ∊ H

• ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

• a⁻¹ ∊ H

• a⁻¹a⁻¹ ∊ H

• a⁻¹a⁻¹a⁻¹ ∊ H

• ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

这好家伙, 把a的一堆“好哥们”全部都扯进来了。我们把这些好哥们用下面的记号来记

• m个a的乘积(m >0)

  a^m := aa⋅⋅⋅a

• m个a⁻¹的乘积(m >0)

  a^−m := a⁻¹a⁻¹⋅⋅⋅a⁻¹

• 单位元

  a⁰ := e

按照这种记号 {aⁱ∣i ∊ℤ}⊆ H再仔细看下左边这个集合元素的乘积有什么特点。所以a^m与a^−m互为逆元.这实际上说明了aⁱ的逆元是a⁻ⁱ, ∀i ∊ ℤ.aⁱ与a^j的乘积呢?大家可以分i, j同号和异号的不同情形验证下aⁱa^j =  a^i + j(aⁱ)^j =  a^ij这么看来这个集合{aⁱ∣i ∊ℤ}含单位元e, 对运算封闭, 每个元素的aⁱ的逆元a⁻ⁱ还在这个集合中。因此{aⁱ∣i ∊ℤ}已经是G的一个子群.总结一下命题 1假设G是一个群, a ∊ G. 则 {aⁱ∣i ∊ ℤ}是G的子群。命题1中G的子群{aⁱ∣i ∊ ℤ}称为由元素a生成的子群, 这样的子群也称为循环子群(cyclic subgroup), 记为⟨a⟩.如果很碰巧G中存在一个元素a使得G = ⟨a⟩, 则称G是一个循环群。很显然循环群中元素乘法交换, 是Abel群例 1假设G = (ℤ, + ), 则⟨3⟩ =  {3i∣i ∊ ℤ}注意, 这里G中的运算是“ + ”, 因此命题1中的a^m在这里体现为a +  a +  ⋅⋅⋅ +  a =  ma取a = 1, 我们有⟨1⟩ =  {i∣i ∊ ℤ} =  ℤ因此(ℤ, + )是循环群。我们再来看一个例子例 2考虑二面体群Dn, n ⩾3. 回忆下 Dn =  {e, ρ, ρ², ⋅⋅⋅, ρⁿ⁻¹, τ0, ⋅⋅⋅, τn−1}其中ρ是绕原点逆时针旋转2π/n.这样一来, 对任意i ∊ℤ, 令r为i模n的余数, 也就是说r ∊ [0, n−1]且存在整数q使得i = qn +  r. 从而也就是说 ⟨ρ⟩ =  {e, ρ, ⋅⋅⋅, ρⁿ⁻¹}只有n个元素。Dn不可能是循环群, 因为它不是Abel群。3循环子群的阶数上面我们看到循环子群的阶数(元素个数)既可以是无穷, 也可以有限, 那什么时候无穷, 什么时候有限呢?有限的时候, 有多少个元素呢?现在我们假设G是一个群, a是G中元素.那么只能出现下面两种情形: 情形1:  aⁱ≠a^j,  ∀i≠j.显然此时⟨a⟩有无穷多个元素。情形2: 存在i < j使得aⁱ =  a^j.两边同右乘以a⁻ⁱ有e =  a^ja⁻ⁱ =  a^j−i也就是说存在一个正整数j− i使得 a^j−i =  e引理 2a是群G中的一个元素, 如果存在m > 0使得a^m = e, 则 ⟨a⟩ =  {aⁱ∣0 ⩽ i ⩽ m−1}如果m是最小的正整数使得a^m = e, 则 e, a, ⋅⋅⋅, a^m−1互不相同.证明: 只需要证明aⁱ ∊{e, a, ⋅⋅⋅, a^m−1}对所有的整数i ∊ℤ成立. 由带余除法, 存在q ∊ ℤ, 0 ⩽ r ⩽m−1使得i =  qm +  r从而因此aⁱ ∊{e, a, ⋅⋅⋅, a^m−1}.假设m是最小的满足a^m = e的正整数。如果{e, a, ⋅⋅⋅, a^m−1}中有两个元素相同, 即存在0 ⩽ k < l ⩽ m−1但a^k = a^l. 这样一来a^l−k = e, 与m的最小性矛盾。4元素的阶由上面的讨论, 我们发现, 循环子群⟨a⟩的阶分为两种情况: 无穷和有限。推论 3⟨a⟩有限当且仅当存在正整数m使得a^m = e. 此时 |⟨a⟩| = 最小的正整数m使得a^m = e证明: 由上面的讨论, 一共分为两种情形。⟨a⟩有限当且仅当情形2出现, 此时存在m > 0使得a^m = e.反过来, 如果存在m >0使得a^m =  e, 引理2保证了⟨a⟩有限。由引理2, 此时|⟨a⟩| = 最小的正整数m使得a^m = e定义 4为了叙述方便, 我们定义 o(a) := |⟨a⟩|称为元素a的阶(order).显然当o(a)有限时, 它正好是使得a^m = e的最小的正整数m.由于⟨a⟩ =  ⟨a⁻¹⟩, 因此o(a) = o(a⁻¹).引理 5(1) 一个循环群的子群还是循环群(2) 如果o(a) =  m, 则aⁱ = e当且仅当m∣i.证明: (1) 假设⟨a⟩是一个循环群, 而H是⟨a⟩的非平凡子群.从而存在k≠0使得a^k ∊H, 此时a^−k ∊H. 因此, 总存在k > 0使得a^k ∊H.令m为正整数集合S := {k > 0∣a^k ∊ H}中的最小数. 那么对于任意aⁱ ∊H, 利用带余除法i =  qm +  r, 0  ⩽ r < m此时 a^r =  a^i−mq = aⁱ(a^m)^−q ∊ H由m的最小性得r = 0. 因此 m∣i,  aⁱ = (a^m)^q ∊⟨a^m⟩即H ⊆⟨a^m⟩. 另一个方面, a^m ∊ H, 从而⟨a^m⟩⊆ H. 所以H = ⟨a^m⟩是循环群。(2). 由于m是最小的使得a^m = e的正整数, 如果aⁱ = e, 利用与(1)类似的带余除法可证明m∣i.反过来, 如果m∣i, 即i =  mq, 这时aⁱ = (a^m)^q =  e5方幂的阶如果o(a) =  ∞, 显然o(a^r) = ∞对所有的正整数r成立。如果o(a) =  m, n是一个正整数, 那o(aⁿ)等于多少呢?实际上命题 6假设o(a) =  m,  n是一个正整数, d = (m, n)为m与n的最大公因数。则(1) ⟨aⁿ⟩ =  ⟨a^d⟩(2) o(aⁿ) =  m/d证明: 由于n是d的倍数(n = dq), 所以 aⁿ = (a^d)^q ∊⟨a^d⟩因此⟨aⁿ⟩⊆⟨a^d⟩.另一方面, 由于d是m, n的最大公因数, 因此存在整数u, v使得mu +  nv =  d因此 a^d =  a^mu(aⁿ)^v =  e(aⁿ)^v ∊ ⟨aⁿ⟩从而⟨a^d⟩⊆⟨aⁿ⟩.(2) ⟨a^d⟩中元素恰为那些aⁱ, 0 ⩽ i < m且d∣i一共有m/d个。因此o(aⁿ) =  |⟨aⁿ⟩| =  |⟨a^d⟩| =  m/d考虑n阶循环群中元素的阶, 我们发现对于每个d∣n, d阶元的个数恰为φ(d), 由此可以得到利用命题6和引理5, 我们很容易给出循环群的所有子群。比如, 如果⟨a⟩是一个6阶循环群, 则它的所有子群为{e}, ⟨a²⟩, ⟨a³⟩, ⟨a⟩分别有1, 3, 2, 6个元素。6乘积的阶本期最后, 我们来看下如果群G中有两个元素a, b.它们的阶为 o(a) =  m, o(b) =  n那么它们的乘积ab的阶是多少呢?这个一般情况下是不太好确定的。但是命题 7若ab  = ba且m, n互素, 那么 o(ab) =  mn证明: 由于ab =  ba, 所以(ab)^mn =  a^mnb^mn =  e因此o(ab)有限。由引理5(2), 我们有 o(ab)∣mn现假设o(ab) = k, 则 (ab)^k =  e由于ab =  ba, 因此a^kb^k = (ab)^k =  e从而 a^k =  b^−k所以o(a^k) = o(b^−k) = o(b^k)从而因此 m(k, n) =  n(k, m)由于(m, n) = 1, 因此 m∣(k, n), n∣(k, m)从而m∣k, n∣k再次利用(m, n) = 1得到 mn∣k所以mn与o(ab)相互整除, 都是正整数, 两者相等。注: 如果m, n不互素, 大家可能觉得ab的阶数应该是m, n的最小公倍数。实际上这个一般情况下不对。比如: 在一个12阶的循环群⟨x⟩中, 即o(x) = 12, 令 a =  x⁴, b =  x²我们有 ab =  ba, o(a) = 3, o(b) = 6但是 o(ab) = o(x⁶) = 2