UA OPTI570 量子力学角动量公式与结论总结

角动量算符基础
Spin-1/2
2-level System

角动量算符基础

角动量算符的定义 一个三元组J=(Jx,Jy,Jz)\textbf J=(J_x,J_y,J_z)J=(Jx,Jy,Jz)被称为角动量算符，如果
[Jx,Jy]=iℏJz[Jy,Jz]=iℏJx[Jz,Jx]=iℏJy[J_x,J_y]=i\hbar J_z \\ [J_y,J_z]=i\hbar J_x \\ [J_z,J_x]=i\hbar J_y[Jx,Jy]=iℏJz[Jy,Jz]=iℏJx[Jz,Jx]=iℏJy

角动量算符的性质 记J2=Jx2+Jy2+Jz2,J+=Jx+iJy,J−=Jx−iJy\textbf J^2=J_x^2+J_y^2+J_z^2,J_{+}=J_x+iJ_y,J_-=J_x-iJ_yJ2=Jx2+Jy2+Jz2,J+=Jx+iJy,J−=Jx−iJy

[J2,Jk]=0,k=x,y,z[\textbf J^2,J_k]=0,k=x,y,z[J2,Jk]=0,k=x,y,z
{J2,Jk}\{\textbf J^2,J_k\}{J2,Jk}是CSCO，k=x,y,zk=x,y,zk=x,y,z，通常用{J2,Jz}\{\textbf J^2,J_z\}{J2,Jz}作为CSCO
Jx=J++J−2,Jy=−i2(J+−J−)J_x=\frac{J_++J_-}{2},J_y=-\frac{i}{2}(J_+-J_-)Jx=2J++J−,Jy=−2i(J+−J−)
J2∣j,mz⟩=j(j+1)ℏ2∣j,mz⟩,Jz∣j,mz⟩=mzℏ∣j,mz⟩\textbf J^2|j,m_z \rangle=j(j+1)\hbar^2 |j,m_z\rangle,J_z|j,m_z \rangle=m_z\hbar |j,m_z \rangleJ2∣j,mz⟩=j(j+1)ℏ2∣j,mz⟩,Jz∣j,mz⟩=mzℏ∣j,mz⟩其中jjj是整数或者j+12j+\frac{1}{2}j+21是整数，给定jjj的取值，它被称为角动量的量子数，mz∈[−j,j]m_z \in [-j,j]mz∈[−j,j]且mzm_zmz也是整数；
J±∣j,mj⟩=ℏj(j+1)−mj(mj±1)∣j,mj±1⟩,J±∣j,±j⟩=0J_{\pm}|j,m_j \rangle = \hbar \sqrt{j(j+1)-m_j(m_j \pm 1)}|j,m_j \pm 1\rangle,J_{\pm}|j,\pm j \rangle=0J±∣j,mj⟩=ℏj(j+1)−mj(mj±1)∣j,mj±1⟩,J±∣j,±j⟩=0
假设u^\hat uu^表示空间中的任意标准化的方向向量，记Ju=J⋅u^J_u=\textbf J \cdot \hat uJu=J⋅u^，则Ju∣j,mu⟩=ℏmu∣j,mu⟩J_u|j,m_u \rangle=\hbar m_u|j,m_u \rangleJu∣j,mu⟩=ℏmu∣j,mu⟩

角动量的态空间与表征 角动量的态空间Ej\mathcal{E}_jEj的维数为2j+12j+12j+1，基为{∣j,mz⟩}\{|j,m_z \rangle\}{∣j,mz⟩}，基的矩阵表示从∣j,j⟩|j,j \rangle∣j,j⟩到∣j,−j⟩|j,-j \rangle∣j,−j⟩依次为e1,e2,⋯,e2j+1e_1,e_2,\cdots,e_{2j+1}e1,e2,⋯,e2j+1，其中eke_kek表示第kkk个元素为1，其余元素均为0的2j+12j+12j+1维列向量。

例1：Ej=3/2\mathcal{E}_{j=3/2}Ej=3/2的维数是444，基为{∣3/2,3/2⟩,∣3/2,1/2⟩,∣3/2,−1/2⟩,∣3/2,−3/2⟩}\{|3/2,3/2 \rangle,|3/2,1/2 \rangle,|3/2,-1/2 \rangle,|3/2,-3/2 \rangle\}{∣3/2,3/2⟩,∣3/2,1/2⟩,∣3/2,−1/2⟩,∣3/2,−3/2⟩}，基的矩阵表示为
[1000],[0100],[0010],[0001]\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right],\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right],\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right],\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right]⎣⎢⎢⎡1000⎦⎥⎥⎤,⎣⎢⎢⎡0100⎦⎥⎥⎤,⎣⎢⎢⎡0010⎦⎥⎥⎤,⎣⎢⎢⎡0001⎦⎥⎥⎤根据角动量的性质4，如果测量J2\textbf J^2J2，只有可能得到j(j+1)ℏ2=154ℏ2j(j+1)\hbar^2=\frac{15}{4}\hbar^2j(j+1)ℏ2=415ℏ2，于是角动量的大小为154ℏ\sqrt{\frac{15}{4}}\hbar415ℏ；如果测量JzJ_zJz可能得到32ℏ,12ℏ,−12ℏ,−32ℏ\frac{3}{2}\hbar,\frac{1}{2}\hbar,-\frac{1}{2}\hbar,-\frac{3}{2}\hbar23ℏ,21ℏ,−21ℏ,−23ℏ；如果在某次测量中得到JzJ_zJz为12ℏ\frac{1}{2}\hbar21ℏ，说明此时量子态为∣j=3/2,mz=1/2⟩|j=3/2,m_z=1/2 \rangle∣j=3/2,mz=1/2⟩。

例2：用{J2,Jz}\{\textbf J^2,J_z\}{J2,Jz}作为CSCO，考虑态空间Ej=1\mathcal{E}_{j=1}Ej=1，基为{∣j=1,mz=1⟩,∣j=1,mz=0⟩,∣j=1,mz=−1⟩}\{|j=1,m_z=1 \rangle,|j=1,m_z=0\rangle,|j=1,m_z=-1 \rangle\}{∣j=1,mz=1⟩,∣j=1,mz=0⟩,∣j=1,mz=−1⟩}，简记为{∣+⟩,∣0⟩,∣−⟩}\{|+\rangle,|0\rangle,|-\rangle\}{∣+⟩,∣0⟩,∣−⟩}，它们的矩阵表示为
[100],[010],[001]\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right],\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right],\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{matrix} \right]⎣⎡100⎦⎤,⎣⎡010⎦⎤,⎣⎡001⎦⎤

用性质4计算，比如⟨+∣J2∣+⟩=2ℏ2⟨+∣+⟩=2ℏ2\langle+|\textbf J^2 | + \rangle=2\hbar^2 \langle + | + \rangle = 2\hbar^2⟨+∣J2∣+⟩=2ℏ2⟨+∣+⟩=2ℏ2，所以J2\textbf J^2J2的矩阵表示为
[⟨+∣J2∣+⟩⟨+∣J2∣0⟩⟨+∣J2∣−⟩⟨0∣J2∣+⟩⟨0∣J2∣0⟩⟨0∣J2∣−⟩⟨−∣J2∣+⟩⟨−∣J2∣0⟩⟨−∣J2∣−⟩]=2ℏ2[100010001]\begin{matrix} \left[ \begin{matrix} \langle+|\textbf J^2 | + \rangle & \langle+|\textbf J^2 | 0 \rangle & \langle+|\textbf J^2 | - \rangle \\ \langle0|\textbf J^2 | + \rangle & \langle0|\textbf J^2 | 0 \rangle & \langle0|\textbf J^2 | - \rangle \\ \langle-|\textbf J^2 | + \rangle & \langle-|\textbf J^2 | 0 \rangle & \langle-|\textbf J^2 | - \rangle\end{matrix} \right] \end{matrix} = 2\hbar^2 \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]⎣⎡⟨+∣J2∣+⟩⟨0∣J2∣+⟩⟨−∣J2∣+⟩⟨+∣J2∣0⟩⟨0∣J2∣0⟩⟨−∣J2∣0⟩⟨+∣J2∣−⟩⟨0∣J2∣−⟩⟨−∣J2∣−⟩⎦⎤=2ℏ2⎣⎡100010001⎦⎤

同样用性质4计算，比如⟨−∣Jz∣−⟩=−ℏ⟨−∣−⟩=−ℏ\langle-|J_z | - \rangle=-\hbar \langle - | - \rangle = -\hbar⟨−∣Jz∣−⟩=−ℏ⟨−∣−⟩=−ℏ，所以JzJ_zJz的矩阵表示为
[⟨+∣Jz∣+⟩⟨+∣Jz∣0⟩⟨+∣Jz∣−⟩⟨0∣Jz∣+⟩⟨0∣Jz∣0⟩⟨0∣Jz∣−⟩⟨−∣Jz∣+⟩⟨−∣Jz∣0⟩⟨−∣Jz∣−⟩]=ℏ[10000000−1]\begin{matrix} \left[ \begin{matrix} \langle+|J_z | + \rangle & \langle+|J_z | 0 \rangle & \langle+|J_z | - \rangle \\ \langle0|J_z | + \rangle & \langle0|J_z | 0 \rangle & \langle0|J_z | - \rangle \\ \langle-|J_z | + \rangle & \langle-|J_z | 0 \rangle & \langle-|J_z | - \rangle\end{matrix} \right] \end{matrix} = \hbar \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 &0 & 0 \\0 & 0 &- 1 \end{matrix} \right]⎣⎡⟨+∣Jz∣+⟩⟨0∣Jz∣+⟩⟨−∣Jz∣+⟩⟨+∣Jz∣0⟩⟨0∣Jz∣0⟩⟨−∣Jz∣0⟩⟨+∣Jz∣−⟩⟨0∣Jz∣−⟩⟨−∣Jz∣−⟩⎦⎤=ℏ⎣⎡10000000−1⎦⎤

要得到JxJ_xJx与JyJ_yJy的矩阵表示，根据性质3，可以先得到J+J_+J+与J−J_-J−的矩阵表示，为此我们用性质5计算，比如⟨+∣J+∣0⟩=2ℏ⟨+∣+⟩=2ℏ,⟨−∣J−∣0⟩=2ℏ⟨−∣−⟩=2ℏ\langle +|J_+|0\rangle=\sqrt{2}\hbar \langle + |+\rangle=\sqrt{2}\hbar,\langle -|J_-|0\rangle=\sqrt{2}\hbar \langle - |-\rangle=\sqrt{2}\hbar⟨+∣J+∣0⟩=2ℏ⟨+∣+⟩=2ℏ,⟨−∣J−∣0⟩=2ℏ⟨−∣−⟩=2ℏ，可得
[⟨+∣J+∣+⟩⟨+∣J+∣0⟩⟨+∣J+∣−⟩⟨0∣J+∣+⟩⟨0∣J+∣0⟩⟨0∣J+∣−⟩⟨−∣J+∣+⟩⟨−∣J+∣0⟩⟨−∣J+∣−⟩]=2ℏ[010001000][⟨+∣J−∣+⟩⟨+∣J−∣0⟩⟨+∣J−∣−⟩⟨0∣J−∣+⟩⟨0∣J−∣0⟩⟨0∣J−∣−⟩⟨−∣J−∣+⟩⟨−∣J−∣0⟩⟨−∣J−∣−⟩]=2ℏ[000100010]\begin{matrix} \left[ \begin{matrix} \langle+|J_+ | + \rangle & \langle+|J_+| 0 \rangle & \langle+|J_+ | - \rangle \\ \langle0|J_+| + \rangle & \langle0|J_+| 0 \rangle & \langle0|J_+ | - \rangle \\ \langle-|J_+| + \rangle & \langle-|J_+ | 0 \rangle & \langle-|J_+ | - \rangle\end{matrix} \right] \end{matrix} =\sqrt{2} \hbar \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 &0 & 1 \\0 & 0 &0 \end{matrix} \right] \\ \begin{matrix} \left[ \begin{matrix} \langle+|J_- | + \rangle & \langle+|J_- | 0 \rangle & \langle+|J_- | - \rangle \\ \langle0|J_- | + \rangle & \langle0|J_- | 0 \rangle & \langle0|J_- | - \rangle \\ \langle-|J_-| + \rangle & \langle-|J_- | 0 \rangle & \langle-|J_- | - \rangle\end{matrix} \right] \end{matrix} =\sqrt{2} \hbar \left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 1&0 & 0 \\0 & 1 &0 \end{matrix} \right]⎣⎡⟨+∣J+∣+⟩⟨0∣J+∣+⟩⟨−∣J+∣+⟩⟨+∣J+∣0⟩⟨0∣J+∣0⟩⟨−∣J+∣0⟩⟨+∣J+∣−⟩⟨0∣J+∣−⟩⟨−∣J+∣−⟩⎦⎤=2ℏ⎣⎡000100010⎦⎤⎣⎡⟨+∣J−∣+⟩⟨0∣J−∣+⟩⟨−∣J−∣+⟩⟨+∣J−∣0⟩⟨0∣J−∣0⟩⟨−∣J−∣0⟩⟨+∣J−∣−⟩⟨0∣J−∣−⟩⟨−∣J−∣−⟩⎦⎤=2ℏ⎣⎡010001000⎦⎤

根据性质3可得JxJ_xJx与JyJ_yJy的矩阵表示，下标给出了Jx,Jy,JzJ_x,J_y,J_zJx,Jy,Jz的矩阵表示及其特征值：

例3：同样考虑态空间E1\mathcal{E}_1E1，但考虑两组基，{∣j=1,mz=1⟩,∣j=1,mz=0⟩,∣j=1,mz=−1⟩}\{|j=1,m_z=1 \rangle,|j=1,m_z=0\rangle,|j=1,m_z=-1 \rangle\}{∣j=1,mz=1⟩,∣j=1,mz=0⟩,∣j=1,mz=−1⟩}与{∣j=1,mx=1⟩,∣j=1,mx=0⟩,∣j=1,mx=−1⟩}\{|j=1,m_x=1 \rangle,|j=1,m_x=0\rangle,|j=1,m_x=-1 \rangle\}{∣j=1,mx=1⟩,∣j=1,mx=0⟩,∣j=1,mx=−1⟩}，简记为{∣z+⟩,∣z0⟩,∣z−⟩}\{|z+ \rangle,|z0\rangle,|z- \rangle\}{∣z+⟩,∣z0⟩,∣z−⟩}与{∣x+⟩,∣x0⟩,∣x−⟩}\{|x+ \rangle,|x0\rangle,|x- \rangle\}{∣x+⟩,∣x0⟩,∣x−⟩}，记这两组基下角动量算符的矩阵表示为{Jx(z),Jy(z),Jz(z)}\{J_x^{(z)},J_y^{(z)},J_z^{(z)}\}{Jx(z),Jy(z),Jz(z)}与{Jx(x),Jy(x),Jz(x)}\{J_x^{(x)},J_y^{(x)},J_z^{(x)}\}{Jx(x),Jy(x),Jz(x)}，例2中我们讨论了第一组矩阵表示，现在我们计算第二组矩阵表示。

第一步，Jx(z)J_x^{(z)}Jx(z)的特征值为ℏ,0,−ℏ\hbar,0,-\hbarℏ,0,−ℏ

Spin-1/2

自旋角动量的定义与性质 用S=(Sx,Sy,Sz)\textbf S=(S_x,S_y,S_z)S=(Sx,Sy,Sz)表示粒子的自旋角动量算符，因为它也是一种角动量，所以满足上文的角动量算符的公理化定义。在Spin-1/2问题中，S\textbf SS的量子数为s=1/2s=1/2s=1/2，所以它有下面两条性质：假设u^\hat uu^表示空间中的任意标准化的方向向量，记Su=S⋅u^S_u=\textbf S \cdot \hat uSu=S⋅u^

S2∣s,mu⟩=s(s+1)ℏ2∣s,mu⟩=34ℏ2∣s,mu⟩\textbf S^2|s,m_u \rangle=s(s+1)\hbar^2 |s,m_u \rangle=\frac{3}{4}\hbar^2|s,m_u \rangleS2∣s,mu⟩=s(s+1)ℏ2∣s,mu⟩=43ℏ2∣s,mu⟩
Su∣s,mu⟩=ℏmu∣s,mu⟩,mu=±12S_u|s,m_u \rangle=\hbar m_u|s,m_u \rangle,m_u = \pm \frac{1}{2}Su∣s,mu⟩=ℏmu∣s,mu⟩,mu=±21

Spin-1/2的态空间与表征 记Es=1/2\mathcal{E}_{s=1/2}Es=1/2为Spin-1/2的态空间，基为{∣s=1/2,mz=1/2⟩,∣s=1/2,mz=−1/2⟩}\{|s=1/2,m_z=1/2 \rangle,|s=1/2,m_z=-1/2 \rangle\}{∣s=1/2,mz=1/2⟩,∣s=1/2,mz=−1/2⟩}，简写为{∣z+⟩,∣z−⟩}\{|z+ \rangle,|z-\rangle\}{∣z+⟩,∣z−⟩}，矩阵表示为[10],[01]\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right],\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right][10],[01]，用与例2相同的推导方法可得，S2\textbf S^2S2的矩阵表示为
S2(z)=34ℏ2[1001]\textbf S^{2(z)}=\frac{3}{4}\hbar^2 \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right]S2(z)=43ℏ2[1001]

Sx,Sy,SzS_x,S_y,S_zSx,Sy,Sz的矩阵表示为
Sx(z)=ℏ2[0110]⏟σx(z),Sy(z)=ℏ2[0−ii0]⏟σy(z),Sz(z)=ℏ2[100−1]⏟σz(z)S_x^{(z)} = \frac{\hbar}{2}\underbrace{\left[ \begin{matrix}0 &1\\ 1 & 0 \end{matrix} \right]}_{\sigma_x^{(z)}},S_y^{(z)} = \frac{\hbar}{2}\underbrace{\left[ \begin{matrix}0 &-i\\ i & 0 \end{matrix} \right]}_{\sigma_y^{(z)}},S_z^{(z)} = \frac{\hbar}{2}\underbrace{\left[ \begin{matrix}1& 0 \\ 0 & -1\end{matrix} \right]}_{\sigma_z^{(z)}}Sx(z)=2ℏσx(z)[0110],Sy(z)=2ℏσy(z)[0i−i0],Sz(z)=2ℏσz(z)[100−1]

称σx,σy,σz\sigma_x,\sigma_y,\sigma_zσx,σy,σz为Pauli Spin Matrices，S\textbf SS可以用一个C2×2×3\mathbb{C}^{2 \times 2 \times 3}C2×2×3的张量表示，
S(z)=ℏ2σ⃗=ℏ2(σx(z),σy(z),σz(z))\textbf S^{(z)}=\frac{\hbar}{2}\vec \sigma = \frac{\hbar}{2}(\sigma_x^{(z)},\sigma_y^{(z)},\sigma_z^{(z)})S(z)=2ℏσ=2ℏ(σx(z),σy(z),σz(z))

Pauli自旋矩阵的性质

自旋角动量在任意方向的分量 在球坐标系(r,θ,ϕ)(r,\theta,\phi)(r,θ,ϕ)，其中θ\thetaθ表示余纬角，ϕ\phiϕ表示经角，中表示u^\hat uu^，
u^=[sin⁡θcos⁡ϕsin⁡θsin⁡ϕcos⁡θ],Su=S⋅u^\hat u = \left[ \begin{matrix} \sin \theta \cos \phi \\ \sin \theta \sin \phi \\ \cos \theta \end{matrix} \right],S_u = \textbf S \cdot \hat uu^=⎣⎡sinθcosϕsinθsinϕcosθ⎦⎤,Su=S⋅u^

SuS_uSu在{∣z+⟩,∣z−⟩}\{|z+ \rangle,|z-\rangle\}{∣z+⟩,∣z−⟩}中的矩阵表示为
Su(z)=S(u)⋅u^=ℏsin⁡θcos⁡ϕ2σx(z)+ℏsin⁡θsin⁡ϕ2σy(z)+ℏcos⁡θ2σz(z)=ℏ2[cos⁡θsin⁡θe−iϕsin⁡θeiϕ−cos⁡θ]\begin{aligned}S_u^{(z)} & =\textbf S^{(u)} \cdot \hat u \\ & =\frac{\hbar \sin \theta \cos \phi}{2} \sigma_x^{(z)}+\frac{\hbar \sin \theta \sin \phi}{2}\sigma_y^{(z)}+\frac{\hbar \cos \theta}{2}\sigma_z^{(z)} \\ & = \frac{\hbar}{2} \left[ \begin{matrix} \cos \theta & \sin \theta e^{-i\phi} \\ \sin \theta e^{i\phi} & - \cos \theta\end{matrix} \right] \end{aligned}Su(z)=S(u)⋅u^=2ℏsinθcosϕσx(z)+2ℏsinθsinϕσy(z)+2ℏcosθσz(z)=2ℏ[cosθsinθeiϕsinθe−iϕ−cosθ]

考虑另一组基{∣u+⟩,∣u−⟩}\{|u+ \rangle,|u-\rangle\}{∣u+⟩,∣u−⟩}，它与{∣z+⟩,∣z−⟩}\{|z+ \rangle,|z-\rangle\}{∣z+⟩,∣z−⟩}的转换关系可以用Su(z)S_u^{(z)}Su(z)的特征向量表示。首先计算得到Su(z)S_u^{(z)}Su(z)的特征值与特征向量为

ℏ/2\hbar/2ℏ/2	−ℏ/2-\hbar/2−ℏ/2
[cos⁡θ2e−iϕ2sin⁡θ2eiϕ2]\left[ \begin{matrix} \cos \frac{\theta}{2} e^{-i\frac{\phi}{2}} \\ \sin \frac{\theta}{2} e^{i\frac{\phi}{2}} \end{matrix} \right][cos2θe−i2ϕsin2θei2ϕ]	[−sin⁡θ2e−iϕ2cos⁡θ2eiϕ2]\left[ \begin{matrix} - \sin \frac{\theta}{2} e^{-i\frac{\phi}{2}} \\ \cos \frac{\theta}{2} e^{i\frac{\phi}{2}} \end{matrix} \right][−sin2θe−i2ϕcos2θei2ϕ]

所以
{∣u+⟩=cos⁡θ2e−iϕ2∣z+⟩+sin⁡θ2eiϕ2∣z−⟩∣u−⟩=−sin⁡θ2e−iϕ2∣z+⟩+cos⁡θ2eiϕ2∣z−⟩\begin{cases}|u+\rangle =\cos \frac{\theta}{2} e^{-i\frac{\phi}{2}} |z+ \rangle + \sin \frac{\theta}{2} e^{i\frac{\phi}{2}} |z-\rangle \\ |u- \rangle = - \sin \frac{\theta}{2} e^{-i\frac{\phi}{2}} |z + \rangle + \cos \frac{\theta}{2} e^{i\frac{\phi}{2}} |z- \rangle\end{cases}{∣u+⟩=cos2θe−i2ϕ∣z+⟩+sin2θei2ϕ∣z−⟩∣u−⟩=−sin2θe−i2ϕ∣z+⟩+cos2θei2ϕ∣z−⟩

如果提取e−iϕ2e^{-i\frac{\phi}{2}}e−i2ϕ作为Global Phase Factor，上式可以简化为
{∣u+⟩=cos⁡θ2∣z+⟩+sin⁡θ2eiϕ∣z−⟩∣u−⟩=sin⁡θ2∣z+⟩−cos⁡θ2eiϕ∣z−⟩\begin{cases}|u+\rangle =\cos \frac{\theta}{2} |z+ \rangle + \sin \frac{\theta}{2} e^{i\phi} |z-\rangle \\ |u- \rangle = \sin \frac{\theta}{2} |z + \rangle - \cos \frac{\theta}{2} e^{i\phi} |z- \rangle\end{cases}{∣u+⟩=cos2θ∣z+⟩+sin2θeiϕ∣z−⟩∣u−⟩=sin2θ∣z+⟩−cos2θeiϕ∣z−⟩

取θ=π/2,ϕ=0\theta=\pi/2,\phi=0θ=π/2,ϕ=0或θ=π/2,ϕ=π/2\theta=\pi/2,\phi=\pi/2θ=π/2,ϕ=π/2可得∣x±⟩|x \pm\rangle∣x±⟩与∣y±⟩|y \pm \rangle∣y±⟩的表示：
∣x±⟩=∣z+⟩±∣z−⟩2,∣y±⟩=∣z+⟩±i∣z−⟩2|x \pm \rangle = \frac{|z+ \rangle \pm |z-\rangle}{\sqrt{2}},|y \pm \rangle = \frac{|z+ \rangle \pm i |z - \rangle}{\sqrt{2}}∣x±⟩=2∣z+⟩±∣z−⟩,∣y±⟩=2∣z+⟩±i∣z−⟩

磁场中的旋转粒子 磁场中角动量为J\textbf JJ的带电粒子产生的磁偶极矩为μ⃗=γJ\vec \mu=\gamma \textbf Jμ=γJ，其中γ\gammaγ为gyromagnetic ratio，考虑总角动量为J=L+S\textbf J=\textbf L+\textbf SJ=L+S的带电粒子，其中L\textbf LL为轨道角动量，S\textbf SS为自旋角动量，假设磁感应强度为B\textbf BB，此时带电粒子的哈密顿量为H=−μ⃗⋅BH=-\vec \mu \cdot \textbf BH=−μ⋅B。

例4：绕zzz轴旋转的电子的轨道角动量产生的磁偶极矩为μ⃗=γLL=e2meL=eℏ2me⏟BohrMagneton:μB≈9.3×10−24J/TLℏ=μBLℏ\vec \mu=\gamma_L \textbf L=\frac{e}{2m_e} \textbf L = \underbrace{\frac{e \hbar}{2m_e}}_{Bohr\ Magneton:\mu_B \approx 9.3 \times 10^{-24}J/T} \frac{\textbf L}{\hbar}=\mu_B\frac{\textbf L}{\hbar}μ=γLL=2meeL=Bohr Magneton:μB≈9.3×10−24J/T2meeℏℏL=μBℏL

例5：考虑磁场中的自旋粒子，哈密顿量为
H=−μ⃗⋅B=−γS⋅B=−ℏγ2σ⃗⋅BH=-\vec \mu \cdot \textbf B = -\gamma \textbf S \cdot \textbf B = -\frac{\hbar \gamma}{2}\vec \sigma \cdot \textbf BH=−μ⋅B=−γS⋅B=−2ℏγσ⋅B

情形1：假设B=B0u^,B0>0\textbf B=B_0\hat u,B_0>0B=B0u^,B0>0，则H=−γB0ℏ2σu=12ℏw0σuH=-\frac{\gamma B_0 \hbar}{2}\sigma_u=\frac{1}{2}\hbar w_0 \sigma_uH=−2γB0ℏσu=21ℏw0σu，特征态为∣u±⟩|u \pm \rangle∣u±⟩，特征值为E±=±12ℏw0E_{\pm}=\pm \frac{1}{2}\hbar w_0E±=±21ℏw0；

情形2：假设B=B0dz\textbf B=\frac{B_0}{d}\textbf zB=dB0z，其中ddd的量纲是长度，则H=−γℏB0z2dσzH=-\frac{\gamma \hbar B_0 z}{2d}\sigma_zH=−2dγℏB0zσz，也就是说这个哈密顿量是完全由势能构成的，这个势能定义的力是洛伦兹力，Fz=−dHdz=γℏ2B0dσzF_z=-\frac{dH}{dz}=\frac{\gamma \hbar}{2}\frac{B_0}{d}\sigma_zFz=−dzdH=2γℏdB0σz，特征态为∣z±⟩|z \pm \rangle∣z±⟩，特征值为F±=±γℏ2B0dF_{\pm}=\pm \frac{\gamma \hbar}{2} \frac{B_0}{d}F±=±2γℏdB0；因此spin up along z direction的γ>0\gamma>0γ>0的粒子垂直通过磁场B=B0dz\textbf B=\frac{B_0}{d}\textbf zB=dB0z时，受到+z^+\hat z+z^方向的洛伦兹力向上偏转；spin down along z direction的γ>0\gamma>0γ>0的粒子垂直通过磁场B=B0dz\textbf B=\frac{B_0}{d}\textbf zB=dB0z时，受到−z^-\hat z−z^方向的洛伦兹力向下偏转，以此类推，这个效应叫做Stern-Gerlach效应；

情形3：假设B=B0z^\textbf B=B_0\hat zB=B0z^，根据情形1，H=12ℏw0σz,w0=−γB0H=\frac{1}{2}\hbar w_0\sigma_z,w_0=-\gamma B_0H=21ℏw0σz,w0=−γB0，称这个频率为Larmor frequency，特征值为E±=±12ℏw0E_{\pm}=\pm \frac{1}{2}\hbar w_0E±=±21ℏw0；假设∣ψ(0)⟩=∣u+⟩=cos⁡θ2e−iϕ2∣z+⟩+sin⁡θ2eiϕ2∣z−⟩|\psi(0) \rangle=|u+ \rangle=\cos \frac{\theta}{2} e^{-i\frac{\phi}{2}} |z+ \rangle + \sin \frac{\theta}{2} e^{i\frac{\phi}{2}} |z-\rangle∣ψ(0)⟩=∣u+⟩=cos2θe−i2ϕ∣z+⟩+sin2θei2ϕ∣z−⟩，使用薛定谔时间演化算符，
∣ψ(t)⟩=U(t)∣ψ(0)⟩=e−iHtℏ∣u+⟩=cos⁡θ2e−iϕ(t)2∣z+⟩+sin⁡θ2eiϕ(t)2∣z−⟩,ϕ(t)=ϕ+w0t\begin{aligned}|\psi(t) \rangle &= U(t)|\psi(0) \rangle = e^{-i \frac{Ht}{\hbar}}|u+\rangle \\ & =\cos \frac{\theta}{2} e^{-i\frac{\phi(t)}{2}} |z+ \rangle + \sin \frac{\theta}{2} e^{i\frac{\phi(t)}{2}} |z-\rangle,\phi(t)=\phi+w_0t \end{aligned}∣ψ(t)⟩=U(t)∣ψ(0)⟩=e−iℏHt∣u+⟩=cos2θe−i2ϕ(t)∣z+⟩+sin2θei2ϕ(t)∣z−⟩,ϕ(t)=ϕ+w0t

情形4：假设∣ψ(0)⟩=∣x+⟩|\psi(0)\rangle=|x+ \rangle∣ψ(0)⟩=∣x+⟩，B={B0z^,0≤t<π2w0B0x^,π2w0≤t<πw0B0y^,πw0≤t<3π2w0\textbf B=\begin{cases} B_0\hat z,0 \le t <\frac{\pi}{2w_0} \\ B_0 \hat x,\frac{\pi}{2w_0 } \le t < \frac{\pi}{w_0 } \\ B_0 \hat y,\frac{\pi}{w_0 } \le t < \frac{3\pi}{2w_0 } \end{cases}B=⎩⎪⎨⎪⎧B0z^,0≤t<2w0πB0x^,2w0π≤t<w0πB0y^,w0π≤t<2w03π

用情形3的结论，
∣ψ(3π2w0)⟩=U(3π2w0,πw0)U(πw0,π2w0)U(π2w0,0)∣ψ(0)⟩=e−iπ4σye−iπ4σxe−iπ4σz∣x+⟩\begin{aligned}|\psi(\frac{3 \pi}{2w_0}) \rangle & = U(\frac{3 \pi}{2w_0},\frac{ \pi}{w_0})U(\frac{ \pi}{w_0},\frac{ \pi}{2w_0})U(\frac{ \pi}{2w_0},0)|\psi(0) \rangle \\ & = e^{-i\frac{\pi}{4}\sigma_y}e^{-i\frac{\pi}{4}\sigma_x}e^{-i\frac{\pi}{4}\sigma_z}|x+ \rangle\end{aligned}∣ψ(2w03π)⟩=U(2w03π,w0π)U(w0π,2w0π)U(2w0π,0)∣ψ(0)⟩=e−i4πσye−i4πσxe−i4πσz∣x+⟩

Bloch Vector Bloch Vector的作用是用几何方式描述自旋角动量的均值随时间演化的规律，定义Bloch Vector为
⟨σ⃗⟩(t)=⟨ψ(t)∣σ⃗∣ψ(t)⟩=(⟨σx⟩(t),⟨σy⟩(t),⟨σz⟩(t))\langle \vec \sigma \rangle(t) = \langle \psi(t)|\vec \sigma | \psi(t) \rangle = (\langle \sigma_x \rangle (t),\langle \sigma_y \rangle (t),\langle \sigma_z \rangle (t))⟨σ⟩(t)=⟨ψ(t)∣σ∣ψ(t)⟩=(⟨σx⟩(t),⟨σy⟩(t),⟨σz⟩(t))

例6：在例5情形3中，
⟨σ⃗⟩(t)=(sin⁡θcos⁡ϕ(t),sin⁡θsin⁡ϕ(t),cos⁡θ)\langle \vec \sigma \rangle (t)=(\sin \theta \cos \phi(t),\sin \theta \sin \phi(t) ,\cos \theta)⟨σ⟩(t)=(sinθcosϕ(t),sinθsinϕ(t),cosθ)

2-level System

2-level System的含义与性质 任意具有2-D态空间的量子系统被称为2-level System，它具有与Spm-1/2类似的性质：记E2\mathcal{E}_2E2为一个2-level System的态空间，它的基为{∣u1⟩,∣u2⟩}\{|u_1 \rangle,|u_2\rangle\}{∣u1⟩,∣u2⟩}，∀∣ψ⟩∈E2\forall |\psi \rangle \in \mathcal{E}_2∀∣ψ⟩∈E2，∃a,b∈C\exists a,b \in \mathbb{C}∃a,b∈C，∣ψ⟩=a∣u1⟩+b∣u2⟩|\psi \rangle = a|u_1 \rangle + b |u_2 \rangle∣ψ⟩=a∣u1⟩+b∣u2⟩，

在球坐标下，a=cos⁡θ2e−iϕ2a=\cos \frac{\theta}{2}e^{-i \frac{\phi}{2}}a=cos2θe−i2ϕ，b=sin⁡θ2eiϕ2b=\sin \frac{\theta}{2}e^{i \frac{\phi}{2}}b=sin2θei2ϕ，所以∣ψ⟩=cos⁡θ2e−iϕ2∣u1⟩+sin⁡θ2eiϕ2∣u2⟩|\psi \rangle = \cos \frac{\theta}{2}e^{-i \frac{\phi}{2}} |u_1 \rangle +\sin \frac{\theta}{2}e^{i \frac{\phi}{2}} |u_2 \rangle∣ψ⟩=cos2θe−i2ϕ∣u1⟩+sin2θei2ϕ∣u2⟩
Bloch Vector为⟨σ⃗⟩=[sin⁡θcos⁡ϕsin⁡θsin⁡ϕcos⁡θ]\langle \vec \sigma \rangle = \left[ \begin{matrix} \sin \theta \cos \phi \\ \sin \theta \sin \phi \\ \cos \theta \end{matrix} \right]⟨σ⟩=⎣⎡sinθcosϕsinθsinϕcosθ⎦⎤

2-level System中不同量子态之间的转移概率
情形1：系统的哈密顿量为H0=E1∣u1⟩⟨u1∣+E2∣u2⟩⟨u2∣H_0=E_1 |u_1 \rangle \langle u_1 |+E_2 |u_2 \rangle \langle u_2 |H0=E1∣u1⟩⟨u1∣+E2∣u2⟩⟨u2∣，在{∣u1⟩,∣u2⟩}\{|u_1 \rangle,|u_2 \rangle\}{∣u1⟩,∣u2⟩}下的矩阵表示为H0=[E1E2]H_0 = \left[ \begin{matrix} E_1 \\ & E_2 \end{matrix} \right]H0=[E1E2]假设∣ψ(0)⟩=∣u1⟩|\psi(0)\rangle=|u_1 \rangle∣ψ(0)⟩=∣u1⟩，∣ψ(t)⟩=e−iHtℏ∣u1⟩=e−iE1tℏ∣u1⟩|\psi(t) \rangle=e^{-i\frac{Ht}{\hbar}}|u_1 \rangle = e^{-i \frac{E_1 t}{\hbar}}|u_1 \rangle∣ψ(t)⟩=e−iℏHt∣u1⟩=e−iℏE1t∣u1⟩因此在量子态∣ψ(t)⟩|\psi(t) \rangle∣ψ(t)⟩中测量系统的能量只会得到E1E_1E1，不可能得到E2E_2E2。

情形2：系统的哈密顿量为H=H0+ϵ1^=(E1+ϵ)∣u1⟩⟨u1∣+(E2+ϵ)∣u2⟩⟨u2∣H=H_0+\epsilon \hat 1=(E_1+\epsilon) |u_1 \rangle \langle u_1 |+(E_2+\epsilon) |u_2 \rangle \langle u_2 |H=H0+ϵ1^=(E1+ϵ)∣u1⟩⟨u1∣+(E2+ϵ)∣u2⟩⟨u2∣，此时∣ψ(t)⟩=e−iHtℏ∣u1⟩=e−i(E1+ϵ)tℏ∣u1⟩|\psi(t )\rangle = e^{-i\frac{Ht}{\hbar}}|u_1 \rangle = e^{-i \frac{(E_1+\epsilon) t}{\hbar}}|u_1 \rangle∣ψ(t)⟩=e−iℏHt∣u1⟩=e−iℏ(E1+ϵ)t∣u1⟩结论与情形1相同。

情形3：系统的哈密顿量为H=H0+WH=H_0+WH=H0+W，其中W=W12∣u1⟩⟨u2∣+W21∣u2⟩⟨u1∣W=W_{12}|u_1 \rangle \langle u_2 |+W_{21}|u_2 \rangle \langle u_1 |W=W12∣u1⟩⟨u2∣+W21∣u2⟩⟨u1∣，HHH的矩阵表示为H=[E1W21∗W21E2]=[E1+E22+E1−E22W21∗W21E1+E22−E1−E22]H=\left[ \begin{matrix} E_1 &W_{21}^* \\ W_{21} & E_2 \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} \frac{E_1+E_2}{2}+\frac{E_1-E_2}{2}&W_{21}^* \\ W_{21} & \frac{E_1+E_2}{2}-\frac{E_1-E_2}{2} \end{matrix} \right]H=[E1W21W21∗E2]=[2E1+E2+2E1−E2W21W21∗2E1+E2−2E1−E2]记Em=E1+E22,δ=E1−E22E_m=\frac{E_1+E_2}{2},\delta=\frac{E_1-E_2}{2}Em=2E1+E2,δ=2E1−E2，则
H=EmI+[δW21∗W21δ]=EmI+δ2+∣W21∣2σuσu=σ⃗⋅u^,u^=1δ2+∣W21∣2[W12+W212iW12−W212δ]H=E_m I +\left[ \begin{matrix} \delta &W_{21}^* \\ W_{21} & \delta \end{matrix} \right]=E_mI+\sqrt{\delta^2+|W_{21}|^2}\sigma_u \\ \sigma_u = \vec \sigma \cdot \hat u,\hat u = \frac{1}{\sqrt{\delta^2+|W_{21}|^2}}\left[ \begin{matrix} \frac{W_{12}+W_{21}}{2} \\ i\frac{W_{12}-W_{21}}{2} \\ \delta \end{matrix} \right]H=EmI+[δW21W21∗δ]=EmI+δ2+∣W21∣2σuσu=σ⋅u^,u^=δ2+∣W21∣21⎣⎡2W12+W21i2W12−W21δ⎦⎤

HHH的特征值为
E+=Em+δ2+∣W21∣2E1=Em−δ2+∣W21∣2E_+=E_m+\sqrt{\delta^2+|W_{21}|^2} \\ E_1 = E_m - \sqrt{\delta^2+|W_{21}|^2}E+=Em+δ2+∣W21∣2E1=Em−δ2+∣W21∣2

特征态为
∣ψ+⟩=cos⁡θ2e−iϕ2∣u1⟩+sin⁡θ2eiϕ2∣u2⟩∣ψ−⟩=−sin⁡θ2e−iϕ2∣u1⟩+cos⁡θ2eiϕ2∣u2⟩θ=arctan⁡∣W21∣δ,ϕ=Arg(W12)|\psi_+ \rangle= \cos \frac{\theta}{2} e^{-\frac{i \phi}{2}}|u_1 \rangle+ \sin \frac{\theta}{2} e^{\frac{i \phi}{2}} |u_2 \rangle \\ |\psi_- \rangle=- \sin \frac{\theta}{2} e^{-\frac{i \phi}{2}}|u_1 \rangle+ \cos \frac{\theta}{2} e^{\frac{i \phi}{2}} |u_2 \rangle \\ \theta = \arctan \frac{|W_{21}|}{\delta},\phi = Arg(W_{12})∣ψ+⟩=cos2θe−2iϕ∣u1⟩+sin2θe2iϕ∣u2⟩∣ψ−⟩=−sin2θe−2iϕ∣u1⟩+cos2θe2iϕ∣u2⟩θ=arctanδ∣W21∣,ϕ=Arg(W12)假设初始态为
∣ψ(0)⟩=a1(0)∣u1⟩+a2(0)∣u2⟩|\psi(0) \rangle = a_1(0)|u_1 \rangle + a_2(0)|u_2 \rangle∣ψ(0)⟩=a1(0)∣u1⟩+a2(0)∣u2⟩

目标是得到
∣ψ(t)⟩=a1(t)∣u1⟩+a2(t)∣u2⟩|\psi(t) \rangle = a_1(t)|u_1 \rangle + a_2(t)|u_2 \rangle∣ψ(t)⟩=a1(t)∣u1⟩+a2(t)∣u2⟩

这里的系数含义是状态转移概率幅，从0时刻到ttt时刻，由量子态∣u1⟩|u_1 \rangle∣u1⟩转移到∣u2⟩|u_2 \rangle∣u2⟩与量子态∣u2⟩|u_2 \rangle∣u2⟩转移到∣u1⟩|u_1 \rangle∣u1⟩的概率为
P1→2(t)=∣a2(t)∣2,P2→1(t)=∣a1(t)∣2P_{1 \to 2} (t)=|a_2(t)|^2,P_{2 \to 1}(t)=|a_1(t)|^2P1→2(t)=∣a2(t)∣2,P2→1(t)=∣a1(t)∣2

要做这个计算有下面两种方法：

将∣ψ(0)⟩|\psi(0) \rangle∣ψ(0)⟩变换到基{∣ψ+⟩,∣ψ−⟩}\{|\psi_+ \rangle,|\psi_- \rangle\}{∣ψ+⟩,∣ψ−⟩}的表象下，然后使用Time-evolving operator U(t)U(t)U(t)
将Time-evolving operator U(t)U(t)U(t)变换到基{∣u1⟩,∣u2⟩}\{|u_1 \rangle,|u_2 \rangle\}{∣u1⟩,∣u2⟩}的表象下，然后应用∣ψ(t)⟩=U(t)∣ψ(0)⟩|\psi(t) \rangle = U(t)|\psi(0) \rangle∣ψ(t)⟩=U(t)∣ψ(0)⟩

结果为
{a1(t)=a1(0)(cos⁡2θ2e−iΩt/2+sin⁡2θ2eiΩt/2)−ia2(0)sin⁡θe−iϕsin⁡Ωt2a2(t)=a2(0)(sin⁡2θ2e−iΩt/2+cos⁡2θ2eiΩt/2)−ia1(0)sin⁡θeiϕsin⁡Ωt2\begin{cases} a_1(t)=a_1(0) \left( \cos^2 \frac{\theta}{2} e^{-i \Omega t/2}+ \sin^2 \frac{\theta}{2} e^{i \Omega t/2}\right)-ia_2(0)\sin \theta e^{-i \phi}\sin \frac{\Omega t}{2} \\ a_2(t)=a_2(0) \left( \sin^2 \frac{\theta}{2} e^{-i \Omega t/2}+ \cos^2 \frac{\theta}{2} e^{i \Omega t/2}\right)-ia_1(0)\sin \theta e^{i \phi}\sin \frac{\Omega t}{2}\end{cases}{a1(t)=a1(0)(cos22θe−iΩt/2+sin22θeiΩt/2)−ia2(0)sinθe−iϕsin2Ωta2(t)=a2(0)(sin22θe−iΩt/2+cos22θeiΩt/2)−ia1(0)sinθeiϕsin2Ωt

其中
Ω=E+−E−ℏ=2ℏδ2+∣W21∣2\Omega = \frac{E_+-E_-}{\hbar}=\frac{2}{\hbar}\sqrt{\delta^2+|W_{21}|^2}Ω=ℏE+−E−=ℏ2δ2+∣W21∣2

Rabi Oscillator 在上文的情形3中，假设a1(0)=1,a2(0)=0a_1(0)=1,a_2(0)=0a1(0)=1,a2(0)=0，则
P1→2(t)=sin⁡2θsin⁡2Ωt2,P1→1=1−P1→2(t)P_{1 \to 2}(t) = \sin^2 \theta \sin^2 \frac{\Omega t}{2},P_{1 \to 1}=1-P_{1 \to 2}(t)P1→2(t)=sin2θsin22Ωt,P1→1=1−P1→2(t)

定义
Δ=E1−E2ℏ=2δℏΩ0=2ℏW21=∣Ω0∣eiϕ\Delta = \frac{E_1-E_2}{\hbar} = \frac{2 \delta }{\hbar} \\ \Omega_0 = \frac{2}{\hbar}W_{21} = |\Omega_0|e^{i \phi}Δ=ℏE1−E2=ℏ2δΩ0=ℏ2W21=∣Ω0∣eiϕ

则哈密顿量为
H{u}=[EmEm]+ℏ2[ΔΩ0∗Ω0−Δ]E±=Em±ℏ2Ω,Ω=Δ2+∣Ω0∣2H_{\{u\}} = \left[ \begin{matrix} E_m \\ & E_m \end{matrix} \right] +\frac{\hbar}{2}\left[ \begin{matrix} \Delta & \Omega_0^* \\ \Omega_0 & - \Delta \end{matrix} \right] \\ E_{\pm} = E_m \pm \frac{\hbar}{2}\Omega,\ \Omega = \sqrt{\Delta^2+|\Omega_0|^2}H{u}=[EmEm]+2ℏ[ΔΩ0Ω0∗−Δ]E±=Em±2ℏΩ, Ω=Δ2+∣Ω0∣2

状态转移概率为
P1→2(t)=∣Ω0∣2Ω2sin⁡2Ωt2P_{1 \to 2}(t)=\frac{|\Omega_0|^2}{\Omega^2}\sin^2 \frac{\Omega t}{2}P1→2(t)=Ω2∣Ω0∣2sin22Ωt

这个公式被称为Rabi公式，在2-level system中处理状态转移时这个公式具有通用性，其中Ω0\Omega_0Ω0被称为Resonant Rabi frequency；Ω\OmegaΩ被称为Rabi frequency或者generalized Rabi frequency；Δ\DeltaΔ被称为detuning；这个公式是Rabi Oscillation模型的一部分；∣Ω0∣2Ω2\frac{|\Omega_0|^2}{\Omega^2}Ω2∣Ω0∣2被称为Rabi oscillations的振幅；在Δ=0,Ω=Ω0\Delta=0,\Omega=\Omega_0Δ=0,Ω=Ω0时，称P1→2(t)P_{1 \to 2}(t)P1→2(t)的半个周期，t=π∣Ω0∣t=\frac{\pi}{|\Omega_0|}t=∣Ω0∣π为π\piπ-pulse，整个周期为2π2\pi2π-pulse。