UA OPTI570 量子力学24 Spin-1/2

Pauli Spin Matrix
Bloch Sphere
Time-evolution of Bloch Vector

Pauli Spin Matrix

用S=(Sx,Sy,Sy)\textbf S=(S_x,S_y,S_y)S=(Sx,Sy,Sy)表示自旋的角动量算符，取{S2,Su}\{S^2,S_u\}{S2,Su}作为CSCO，其中S2=∣S∣2S^2=|\textbf S|^2S2=∣S∣2，uuu表示span(X^,Y^,Z^)span(\hat X,\hat Y,\hat Z)span(X^,Y^,Z^)中任意方向，CSCO的特征方程为
S2∣s,mu⟩=s(s+1)ℏ2∣s,mu⟩Su∣s,mu⟩=ℏmu∣s,mu⟩S^2|s,m_u \rangle=s(s+1)\hbar^2|s ,m_u \rangle \\ S_u|s,m_u \rangle=\hbar m_u|s ,m_u \rangleS2∣s,mu⟩=s(s+1)ℏ2∣s,mu⟩Su∣s,mu⟩=ℏmu∣s,mu⟩

在span-1/2问题中，s=1/2s=1/2s=1/2，所以mu∈{1/2,−1/2}m_u\in\{1/2,-1/2\}mu∈{1/2,−1/2}。选择{∣s=1/2,mz=1/2⟩,∣s=1/2,mz=−1/2⟩}\{|s=1/2,m_z=1/2 \rangle,|s=1/2,m_z=-1/2 \rangle\}{∣s=1/2,mz=1/2⟩,∣s=1/2,mz=−1/2⟩}作为量子态空间的基，简记为{∣z+⟩,∣z−⟩}\{|z+\rangle,|z- \rangle\}{∣z+⟩,∣z−⟩}，则
Sz∣z±⟩=±ℏ2∣z±⟩S_z | z \pm \rangle = \pm \frac{\hbar}{2}|z \pm \rangle Sz∣z±⟩=±2ℏ∣z±⟩

在{∣z+⟩,∣z−⟩}\{|z+\rangle,|z- \rangle\}{∣z+⟩,∣z−⟩}作为基的情况下，角动量算符的矩阵表示为
S=ℏ2σ=ℏ2(σx,σy,σz)S2=34ℏ2[1001]Sx(z)=ℏ2σx=ℏ2[0110]Sy(z)=ℏ2σy=ℏ2[0−ii0]Sz(z)=ℏ2σz=ℏ2[100−1]\textbf S = \frac{\hbar}{2}\sigma= \frac{\hbar}{2}(\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z) \\ S^2=\frac{3}{4 }\hbar^2 \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \\ S_x^{(z)}=\frac{\hbar}{2} \sigma_x = \frac{\hbar}{2}\left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{matrix} \right] \\S_y^{(z)}=\frac{\hbar }{2}\sigma_y =\frac{\hbar}{2}\left[ \begin{matrix} 0 & -i \\ i & 0\end{matrix} \right] \\ S_z^{(z)}=\frac{\hbar}{2} \sigma_z = \frac{\hbar}{2}\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{matrix} \right]S=2ℏσ=2ℏ(σx,σy,σz)S2=43ℏ2[1001]Sx(z)=2ℏσx=2ℏ[0110]Sy(z)=2ℏσy=2ℏ[0i−i0]Sz(z)=2ℏσz=2ℏ[100−1]

其中σx,σy,σz\sigma_x,\sigma_y,\sigma_zσx,σy,σz被称为泡利自旋矩阵，σ\sigmaσ被称为Pauli Spin Operator。现在考虑任意方向uuu，在球坐标中，
u=[sin⁡θcos⁡ϕsin⁡θsin⁡ϕcos⁡θ]u=\left[ \begin{matrix} \sin \theta \cos \phi\\ \sin \theta \sin \phi \\ \cos \theta \end{matrix} \right]u=⎣⎡sinθcosϕsinθsinϕcosθ⎦⎤

则Su=S⋅u=ℏ2(sin⁡θcos⁡ϕσx+sin⁡θsin⁡ϕσy+cos⁡θσz)=ℏ2σuS_u=\textbf S \cdot u=\frac{\hbar}{2} \left( \sin \theta \cos \phi \sigma_x +\sin \theta \sin \phi \sigma_y + \cos \theta \sigma_z \right)=\frac{\hbar}{2}\sigma_uSu=S⋅u=2ℏ(sinθcosϕσx+sinθsinϕσy+cosθσz)=2ℏσu可以得到它在{∣z+⟩,∣z−⟩}\{|z+\rangle,|z- \rangle\}{∣z+⟩,∣z−⟩}下的矩阵表示为
Su(z)=ℏ2[cos⁡θsin⁡θeiϕsin⁡θeiϕ−cos⁡θ]S_u^{(z)}= \frac{\hbar}{2}\left[ \begin{matrix} \cos \theta & \sin \theta e^{i \phi} \\ \sin \theta e^{i \phi} & -\cos \theta\end{matrix} \right]Su(z)=2ℏ[cosθsinθeiϕsinθeiϕ−cosθ]

它的特征值为ℏ/2,−ℏ/2\hbar/2,-\hbar/2ℏ/2,−ℏ/2，特征向量为
[cos⁡θ2e−iϕ2sin⁡θ2eiϕ2],[−sin⁡θ2e−iϕ2cos⁡θ2eiϕ2]\left[ \begin{matrix} \cos \frac{\theta}{2}e^{-i \frac{\phi}{2}} \\ \sin \frac{\theta}{2}e^{i \frac{\phi}{2}}\end{matrix} \right],\left[ \begin{matrix} -\sin \frac{\theta}{2}e^{-i \frac{\phi}{2}}\\ \cos \frac{\theta}{2}e^{i \frac{\phi}{2}}\end{matrix} \right][cos2θe−i2ϕsin2θei2ϕ],[−sin2θe−i2ϕcos2θei2ϕ]

由此可以得到∣u+⟩|u+ \rangle∣u+⟩与∣u−⟩|u- \rangle∣u−⟩在{∣z+⟩,∣z−⟩}\{|z+\rangle,|z- \rangle\}{∣z+⟩,∣z−⟩}下的表示
∣u+⟩=cos⁡θ2e−iϕ2∣z+⟩+sin⁡θ2eiϕ2∣z−⟩∣u−⟩=−sin⁡θ2e−iϕ2∣z+⟩+cos⁡θ2eiϕ2∣z−⟩|u+ \rangle = \cos \frac{\theta}{2}e^{-i \frac{\phi}{2}}|z+ \rangle+ \sin \frac{\theta}{2}e^{i \frac{\phi}{2}}|z- \rangle \\ |u- \rangle =-\sin \frac{\theta}{2}e^{-i \frac{\phi}{2}} |z+\rangle+\cos \frac{\theta}{2}e^{i \frac{\phi}{2}} |z- \rangle∣u+⟩=cos2θe−i2ϕ∣z+⟩+sin2θei2ϕ∣z−⟩∣u−⟩=−sin2θe−i2ϕ∣z+⟩+cos2θei2ϕ∣z−⟩

在这两个式子中，e−iϕ2e^{-\frac{i \phi}{2}}e−2iϕ为global phase factor，去掉它之后可以得到
∣u+⟩=cos⁡θ2∣z+⟩+sin⁡θ2eiϕ∣z−⟩∣u−⟩=sin⁡θ2∣z+⟩−cos⁡θ2eiϕ∣z−⟩|u+ \rangle = \cos \frac{\theta}{2}|z+ \rangle+ \sin \frac{\theta}{2}e^{i \phi }|z- \rangle \\ |u- \rangle =\sin \frac{\theta}{2}|z+\rangle-\cos \frac{\theta}{2}e^{i \phi} |z- \rangle∣u+⟩=cos2θ∣z+⟩+sin2θeiϕ∣z−⟩∣u−⟩=sin2θ∣z+⟩−cos2θeiϕ∣z−⟩

Bloch Sphere

既然{∣z+⟩,∣z−⟩}\{|z+\rangle,|z- \rangle\}{∣z+⟩,∣z−⟩}可以作为Es=1/2\mathcal{E}_{s=1/2}Es=1/2的一组基，则Es=1/2\mathcal{E}_{s=1/2}Es=1/2中的任意量子态∣ψ⟩|\psi \rangle∣ψ⟩都可以表示为∣z+⟩,∣z−⟩|z+\rangle,|z- \rangle∣z+⟩,∣z−⟩的叠加：∃c1,c2∈C\exists c_1,c_2 \in \mathbb{C}∃c1,c2∈C，∣c1∣2+∣c2∣2=1|c_1|^2+|c_2|^2=1∣c1∣2+∣c2∣2=1，
∣ψ⟩=c1∣z+⟩+c2∣z−⟩|\psi \rangle = c_1|z+ \rangle + c_2 |z - \rangle∣ψ⟩=c1∣z+⟩+c2∣z−⟩

因为uuu代表所有可能的方向，θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π]\theta \in [0,\pi],\phi \in [0,2 \pi]θ∈[0,π],ϕ∈[0,2π]，所以(θ,ϕ)(\theta,\phi)(θ,ϕ)与Es=1/2\mathcal{E}_{s=1/2}Es=1/2中的量子态之间存在一一对应关系，也就是说每个量子态都对应唯一一种自旋方向。

例 θ=π/4,ϕ=0\theta=\pi/4,\phi=0θ=π/4,ϕ=0，则
∣u+⟩=cos⁡(π/8)∣z+⟩+sin⁡(π/8)∣z−⟩u=X^+Z^2|u+ \rangle = \cos(\pi/8)|z+ \rangle+\sin(\pi/8)|z- \rangle \\ u = \frac{\hat X + \hat Z}{\sqrt{2}}∣u+⟩=cos(π/8)∣z+⟩+sin(π/8)∣z−⟩u=2X^+Z^

也就是说cos⁡(π/8)∣z+⟩+sin⁡(π/8)∣z−⟩\cos(\pi/8)|z+ \rangle+\sin(\pi/8)|z- \ranglecos(π/8)∣z+⟩+sin(π/8)∣z−⟩这个量子态自旋方向为X^+Z^2\frac{\hat X + \hat Z}{\sqrt{2}}2X^+Z^；

例 ∣ψ⟩=12∣z+⟩−i2∣z−⟩|\psi \rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|z+ \rangle-\frac{i}{\sqrt{2}}|z - \rangle∣ψ⟩=21∣z+⟩−2i∣z−⟩，则θ=π/2,ϕ=−π/2\theta = \pi/2,\phi=-\pi/2θ=π/2,ϕ=−π/2，所以u^=−y^\hat u=-\hat yu^=−y^，∣ψ⟩|\psi \rangle∣ψ⟩自旋方向为−y^-\hat y−y^（spin up along -y direction）

因为(θ,ϕ)(\theta,\phi)(θ,ϕ)是球坐标系中的余纬角与经角，所以Es=1/2\mathcal{E}_{s=1/2}Es=1/2中的量子态可以用单位球面上的点表示，这个球面被称为Bloch Sphere，因为量子态与Bloch Sphere上的点是一一对应的，而量子态下Pauli Spin Operator的均值与量子态也是一一对应的，所以Bloch Sphere上的点与Pauli Spin Operator在某个量子态下的均值一一对应，称Pauli Spin Operator的均值为Bloch Vector，它是Bloch Sphere上的点。

Time-evolution of Bloch Vector

要讨论Bloch vector的演化规律，需要先计算出Hamiltonian，我们可以借鉴经典力学中处理粒子角动量与旋转关系的方法，然后把角动量替换为量子力学中的角动量即可。考虑一个角动量为L\textbf LL的带电粒子，它会产生一个磁偶极矩μ⃗\vec \muμ，使得μ⃗∝L\vec \mu \propto \textbf Lμ∝L，取L=J\textbf L=\textbf JL=J，则μ⃗∝J\vec \mu \propto \textbf Jμ∝J，假设比例常数为γ\gammaγ，它是gyromagnetic ratio。

例假设某个电子绕z轴旋转，orbital angular momentum为ℏ\hbarℏ，则它产生的磁偶极矩为
μ⃗=γLL=e2meℏz^\vec \mu=\gamma_L\textbf L = \frac{e}{2m_e} \hbar \hat zμ=γLL=2meeℏz^

记
μB=eℏ2me=9.3×10−24J/T\mu_B=\frac{e \hbar}{2m_e}=9.3 \times 10^{-24}J/TμB=2meeℏ=9.3×10−24J/T

这个常量被称为Bohr magneton。

在spin-1/2中，
μ⃗=γS=γℏ2σ\vec \mu = \gamma \textbf S = \frac{\gamma \hbar}{2} \sigmaμ=γS=2γℏσ

粒子	γ\gammaγ
e−e^-e−	γe=geμBℏ,ge≈−0.002\gamma_e = \frac{g_e\mu_B}{\hbar},g_e \approx -0.002γe=ℏgeμB,ge≈−0.002
p+p^+p+	γp=gpμNℏ,gp≈5.59\gamma_p=\frac{g_p\mu_N}{\hbar},g_p \approx 5.59γp=ℏgpμN,gp≈5.59
n0n^0n0	γN=gNμNℏ,gN=−3.8\gamma_N=\frac{g_N \mu _N}{\hbar},g_N = -3.8γN=ℏgNμN,gN=−3.8

其中μN=eℏ2mp\mu_N=\frac{e\hbar}{2m_p}μN=2mpeℏ，三种粒子依次为电子、质子、中子。假设外部磁场为B\textbf BB，则已知磁偶极矩时，可以得到哈密顿量为
H=−μ⃗⋅B=−γℏ2σ⋅BH=-\vec \mu \cdot \textbf B = -\frac{\gamma \hbar}{2} \sigma \cdot \textbf BH=−μ⋅B=−2γℏσ⋅B

例假设B=B0u\textbf B=B_0 uB=B0u，其中B0>0B_0>0B0>0，则哈密顿量为
H=−γB0ℏ2σu=12ℏw0σuH=-\frac{\gamma B_0 \hbar}{2} \sigma_u = \frac{1}{2} \hbar w_0 \sigma_uH=−2γB0ℏσu=21ℏw0σu

因为γB0\gamma B_0γB0的量纲是频率，所以记w0=−γB0w_0=-\gamma B_0w0=−γB0，它被称为Larmor frequency。能量的本征态为∣u+⟩,∣u−⟩|u+ \rangle,|u-\rangle∣u+⟩,∣u−⟩，能量的本征值为E+=12ℏw0E_+=\frac{1}{2}\hbar w_0E+=21ℏw0与E−=−12ℏw0E_-=-\frac{1}{2}\hbar w_0E−=−21ℏw0，取值为正的那个为高能阶，与EEE的下标为+或者-无关。

例 Stern-Gerlach效应 假设B=B0dzz^\textbf B=\frac{B_0}{d}z \hat zB=dB0zz^，其中B0>0B_0>0B0>0，ddd为一个length scale，则哈密顿量为
H=−μ⃗⋅B=12ℏw0zdσzH=-\vec \mu \cdot \textbf B = \frac{1}{2}\hbar w_0 \frac{z}{d} \sigma_zH=−μ⋅B=21ℏw0dzσz

此时粒子在zzz方向仿佛受到
Fz=−∇V=−12ℏw0σzdF_z=-\nabla V=-\frac{1}{2}\hbar w_0 \frac{\sigma_z}{d}Fz=−∇V=−21ℏw0dσz

量子态为∣z+⟩|z+ \rangle∣z+⟩时，Fz=12ℏw0/dF_z=\frac{1}{2}\hbar w_0/dFz=21ℏw0/d；量子态为∣z−⟩|z-\rangle∣z−⟩时，Fz=−12ℏw0/dF_z=-\frac{1}{2}\hbar w_0/dFz=−21ℏw0/d，因此如果粒子γ>0\gamma>0γ>0，经过这个磁场后，自旋量子态为∣z+⟩|z+ \rangle∣z+⟩会向zzz轴正方向偏转，自旋量子态为∣z−⟩|z- \rangle∣z−⟩会向zzz轴负方向偏转；如果粒子γ<0\gamma<0γ<0，则结论相反。而对于spin up along x或者y的粒子，它们有50%的概率向zzz轴正方向偏转，50%概率向zzz轴负方向偏转。

例假设B=B0z^\textbf B = B_0\hat zB=B0z^，则
H=12ℏw0z^,E±=±12ℏw0H=\frac{1}{2}\hbar w_0 \hat z,E_{\pm}=\pm \frac{1}{2}\hbar w_0H=21ℏw0z^,E±=±21ℏw0

考虑∣ψ(0)⟩=∣u+⟩=cos⁡θ2e−iϕ2∣z+⟩+sin⁡θ2eiϕ2∣z−⟩|\psi(0) \rangle=|u+ \rangle= \cos \frac{\theta}{2}e^{-i \frac{\phi}{2}}|z+ \rangle+ \sin \frac{\theta}{2}e^{i \frac{\phi}{2}}|z- \rangle∣ψ(0)⟩=∣u+⟩=cos2θe−i2ϕ∣z+⟩+sin2θei2ϕ∣z−⟩，它的演化规律为
∣ψ(t)⟩=U^(t,0)∣ψ(0)⟩=e−iHt/ℏ∣u+⟩=cos⁡θ2e−iϕ(t)2∣z+⟩+sin⁡θ2eiϕ(t)2∣z−⟩=c+(t)∣z+⟩+c−(t)∣z−⟩|\psi(t) \rangle = \hat U(t,0)|\psi(0 ) \rangle = e^{-iHt/\hbar}|u + \rangle \\ = \cos \frac{\theta}{2}e^{-i \frac{\phi(t)}{2}}|z+ \rangle+ \sin \frac{\theta}{2}e^{i \frac{\phi(t)}{2}}|z- \rangle = c_+(t)|z+ \rangle + c_-(t)|z - \rangle∣ψ(t)⟩=U^(t,0)∣ψ(0)⟩=e−iHt/ℏ∣u+⟩=cos2θe−i2ϕ(t)∣z+⟩+sin2θei2ϕ(t)∣z−⟩=c+(t)∣z+⟩+c−(t)∣z−⟩

其中ϕ(t)=ϕ+w0t\phi(t) = \phi + w_0 tϕ(t)=ϕ+w0t，接下来我们尝试在Bloch sphere中展示这个结果。Bloch vector为
⟨ψ(t)∣σ∣ψ(t)⟩=⟨σ⟩∣ψ(t)⟩=2⟨S⟩ℏ=(0,0,e−iw0t)\langle \psi(t) | \sigma | \psi(t) \rangle = \langle \sigma \rangle_{|\psi(t) \rangle} = \frac{2 \langle \textbf S \rangle}{\hbar}=(0,0,e^{-iw_0t})⟨ψ(t)∣σ∣ψ(t)⟩=⟨σ⟩∣ψ(t)⟩=ℏ2⟨S⟩=(0,0,e−iw0t)

不是很想画图，但这个其实就是顶点在原点，底面为以(0,0,1)(0,0,1)(0,0,1)为圆心半径为1的圆的圆锥形。