近世代数--群同构--第二同构定理

博主是初学近世代数（群环域），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。
我整理成一个系列：近世代数，方便检索。

先验知识在第一同构定理。

第二同构定理：H≤G,N≤G,N◃G，H\le G,N\le G,N\triangleleft G，H≤G,N≤G,N◃G，有H/(H∩N)≅HN/NH/(H\cap N)\cong HN/NH/(H∩N)≅HN/N

证明：根据第一同构定理，我们把HHH看作GGG，HN/NHN/NHN/N看作G′G'G′，H∩NH\cap NH∩N看作Ker(f),f:G→G′Ker(f),f:G\rightarrow G'Ker(f),f:G→G′，就自然有第二同构定理成立。

满足第一同构定理有两个条件：

条件1：f:H→HN/Nf:H\rightarrow HN/Nf:H→HN/N是满同态；
条件2： H∩NH\cap NH∩N是Ker(f)Ker(f)Ker(f)；

定义：f(h)=hN(H→HN/N)f(h)=hN(H\rightarrow HN/N)f(h)=hN(H→HN/N)，本来应该定义f(h)=hnNf(h)=hnNf(h)=hnN，但是从原像看，没有nnn可以提供；而且h∈H⊂HNh\in H\subset HNh∈H⊂HN，是符合定义的；所以这里的定义只是针对所有原像定义了到像的映射。

证明条件1：

同态：
- 是一个映射：要证h1=h2→f(h1)=f(h2)h_1=h_2\rightarrow f(h_1)=f(h_2)h1=h2→f(h1)=f(h2)，
  易证：h1=h2→h1N=h2N→f(h1)=f(h2)h_1=h_2\rightarrow h_1N=h_2N\rightarrow f(h_1)=f(h_2)h1=h2→h1N=h2N→f(h1)=f(h2)
- 保持运算：要证f(h1h2)=f(h1)f(h2)f(h_1h_2)=f(h_1)f(h_2)f(h1h2)=f(h1)f(h2)
  - N◃G,→∀g∈G,gN=NgN\triangleleft G,\rightarrow \forall g\in G,gN=NgN◃G,→∀g∈G,gN=Ng
    H≤G→∀h∈H⊂G,hN=NhH\le G\rightarrow \forall h\in H\subset G,hN=NhH≤G→∀h∈H⊂G,hN=Nh
  - f(h1h2)=h1h2N=h1h2NN=h1(h2N)N=h1(Nh2)N=h1Nh2N=(h1N)(h2N)=f(h1)f(h2)f(h_1h_2)\\=h_1h_2N\\=h_1h_2NN\\=h_1(h_2N)N\\=h_1(Nh_2)N\\=h_1Nh_2N\\=(h_1N)(h_2N)\\=f(h_1)f(h_2)f(h1h2)=h1h2N=h1h2NN=h1(h2N)N=h1(Nh2)N=h1Nh2N=(h1N)(h2N)=f(h1)f(h2)
满射：要证∀hN∈HN/N,∃h\forall hN\in HN/N,{\exists} h∀hN∈HN/N,∃h使得f(h)=hNf(h)=hNf(h)=hN，易得。

证明条件2：

证明H∩NH\cap NH∩N是内核，从内核定义出发，要证H∩N=Ker(f)H\cap N=Ker(f)H∩N=Ker(f)
f:H→HN/N,f(h)=hN，Ker(f)={h:h∈H,f(h)=1HN/N}f:H\rightarrow HN/N,f(h)=hN，Ker(f)=\{h:h\in H,f(h)=1_{HN/N}\}f:H→HN/N,f(h)=hN，Ker(f)={h:h∈H,f(h)=1HN/N}
我们知道1HN/N=N1_{HN/N}=N1HN/N=N，那么Ker(f)={h:h∈H,f(h)=N}={h:h∈H,hN=N}={h:h∈H,h∈N}=H∩N\\Ker(f)\\=\{h:h\in H,f(h)=N\}\\=\{h:h\in H,hN=N\}\\=\{h:h\in H,h\in N\}\\= H\cap NKer(f)={h:h∈H,f(h)=N}={h:h∈H,hN=N}={h:h∈H,h∈N}=H∩N

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