近世代数--环同态--环的第二同构定理

博主是初学近世代数（群环域），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。
我整理成一个系列：近世代数，方便检索。

RRR是环，S≤R,I◃R,S\le R,I\triangleleft R,S≤R,I◃R,要证

S∩I◃S,S\cap I\triangleleft S,S∩I◃S,
S/(S∩I)≅(S+I)/IS/(S\cap I)\cong (S+I)/IS/(S∩I)≅(S+I)/I

证明：根据环同态基本定理：φ:R→R′\varphi:R\rightarrow R'φ:R→R′是满同态，则R/Kerφ≅R′R/Ker\varphi\cong R'R/Kerφ≅R′，我们应该构造如下：

φ:S→(S+I)/I\varphi:S\rightarrow (S+I)/Iφ:S→(S+I)/I是满同态
S∩I=KerφS\cap I=Ker\varphiS∩I=Kerφ

但是φ\varphiφ直接构造比较难，我们应该先借助自然同态σ:S+I→(S+I)/I\sigma:S+I\rightarrow (S+I)/Iσ:S+I→(S+I)/I

构造同态φ\varphiφ：

我们有I◃S+I,→(σ:S+I→(S+I)/I)I\triangleleft S+I,\rightarrow (\sigma:S+I\rightarrow (S+I)/I)I◃S+I,→(σ:S+I→(S+I)/I)是自然同态（环到其商环的映射，是满同态，称为自然同态）
σ(s+x)=s+x‾,s∈S,x∈I\sigma(s+x)=\overline{s+x},s\in S,x\in Iσ(s+x)=s+x,s∈S,x∈I

借助σ\sigmaσ，构造同态φ:S→(S+I)/I,φ(s)=σ(s),s∈S\varphi:S\rightarrow (S+I)/I,\varphi(s)=\sigma(s),s\in Sφ:S→(S+I)/I,φ(s)=σ(s),s∈S
φ\varphiφ是满同态：

∀s+x‾∈S+I,s∈S,x∈I,∃s∈S,\forall \overline{s+x}\in S+I,s\in S,x\in I,\\\exists s\in S,∀s+x∈S+I,s∈S,x∈I,∃s∈S,使得φ(s)=σ(s)=sˉ=s+x‾\varphi(s)=\sigma(s)=\bar{s}=\overline{s+x}φ(s)=σ(s)=sˉ=s+x
S∩I=KerφS\cap I=Ker\varphiS∩I=Kerφ

Kerφ={s∈S∣φ(s)=0ˉ}={s∈S∣σ(s)=I}={s∈S∣s∈I}=S∩IKer\varphi\\=\{s\in S|\varphi(s)=\bar{0}\}\\=\{s\in S|\sigma(s)=I\}\\=\{s\in S|s\in I\}\\=S\cap IKerφ={s∈S∣φ(s)=0ˉ}={s∈S∣σ(s)=I}={s∈S∣s∈I}=S∩I

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