近世代数试题

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设A=B=R(实数域)，

?:a→2a+1

?a∈A

则?是从A到B的( ) A.满射而非单射 B.单射而非满射 C.一一映射

D.既非单射也非满射 2.在整数集Z中，Z的代数运算aob=??a当a为偶数时?a?1当a为奇数时 ( )

A.既适合结合律又适合交换律 B.适合结合律但不适合交换律 C.不适合结合律但适合交换律

D.既不适合结合律又不适合交换律

3.下列关系，______是整数集Z中元素之间的等价关系.( ) A.大于 B.大于或等于 C.整除

D.同余

4.下列集合对所给运算作成群的是( ) A.非零有理数的全体对普通数的加法 B.非零有理数的全体对普通数的减法 C.非零有理数的全体对普通数的乘法 D.非零有理数的全体对普通数的除法

5.设R=????ac??????0b?a,b,c?Z?，那么R关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是( ??A.有单位元的可换环 B.无单位元的可换环 C.无单位元的非可换环

D.有单位元的非可换环

二、填空题(本大题共9小题，每小题3分，共27分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.在5次对称群S5中，(134)2(3512)-1=______. 7.6阶循环群有______个生成元. 8.任何一个群都同一个______同构.

9.模6的剩余类环Z6的子环个数等于______. 10.偶数环有______个单位元.

11.设F是有四个元的域，则F的特征为______.

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) 12.一个主理想环的非零最大理想都是由一个______所生成.

三、解答题(本大题共3小题，第15小题10分,第16,17小题各12分，共34分) 15.设R={a·i|a为实数，i=?1}，问R关于普通数的加法和乘法是否构成环？为什么？ 16.找出模14的剩余类加群Z14的所有子群，并找出Z14的全部生成元. 17.假定R是由所有复数a+bi(a,b是整数)组成的环，求商环R/(1+i). 四、证明题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)

18.设G是一个非交换群，求证：G中存在两个不同的非单位元a和b，满足ab=ba. 19.假定H是群G的子群，N是G的不变子群，证明:HN是G的子群.

??ab????a0?????20.设A=??关于矩阵的加法和乘法构成一个环，证明:A=a,b,c?Za,c?Z1???是A的子环，?0c??0c?????????找出A到A1的一个同态满射f,并求f的核ker f.

近世代数试题

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.以下关系中，哪个不是所给集合元间的等价关系?( ) A.在有理数集Q中关系～：a～b?a-b∈Z B.在复数集C中关系～：a～b?|a|=|b| C.在实数集R中关系～：a～b?a≤b D.在实数集R中关系～：a～b?a=b ?2(n?1),n?02.设A=Z，D=Z+，σ∶n|→?

?2n?1,n?0?则σ是Z到Z+的( ) A.单射 C.一一映射

B.满射 D.不是映射

3.在实数集R中定义代数运算aob=a+b+ab，则这个代数运算( ) A.既适合结合律又适合交换律 C.不适合结合律但适合交换律

4.下列集合对所给运算作成群的是( ) A.非零有理数的全体Q*对普通数的加法 C.非零有理数的全体Q*对普通数的乘法

B.非零有理数的全体Q*对普通数的减法 D.非零有理数的全体Q*对普通数的除法 B.适合结合律但不适合交换律 D.既不适合结合律又不适合交换律

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??ab???5.设R=???cd?a,b,c,d?Z?，那么R关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是 ????( )

A.有单位元的可换环 C.无单位元的非可换环

B.无单位元的可换环 D.有单位元的非可换环

二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.设A={a,b,c,d,e}，则A的子集共有________个. 7.在4次对称群S4中，(143)2(132)-1=________. 8.模12的剩余类加群Z12的生成元有________个. 9.设Z6是模6的剩余类环，则Z6中的零因子是________. 10.模p(素数)的剩余类环Zp的特征为________. 11.剩余类环Z17的可逆元有________个.

12.在高斯整环Z［i］={a+bi|a,b∈Z}中,主理想(1+i)＝________.

三、解答题(本大题共3小题，第16小题9分,第17、18小题各10分，共29分) 16.找出3次对称群S3的所有子群,这些子群中哪些是S3的不变子群? 17.设群G=Z18子群H=(［6］), (1)商群G/H=?

(2)商群G/H与怎样的一个群同构?

??0a????0x?????18.设R=??关于矩阵的加法和乘法构成一个环，I=a,b?Zx?Z???， ?0b??00?????????证明：I是R的理想，问商环R/I由哪些元素组成？

四、证明题(本大题共3小题，第19、21小题每小题8分，第20小题10分，共26分)19.设R为全体实数组成的加法群,R+表示全体正实数组成的乘法群,则R+与R同构.

20.设M2(Q)是有理数域Q上的二阶矩阵环,证明:M2(Q)只有零理想与单位理想,但不是除环. 21.证明：3-2i是高斯整环Z［i］={a+bi|a,b∈Z}的素元.

近世代数试卷

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设A={a,b,c,d},则A的一一变换共有______个.( )

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A.4 C.24

B.16 D.64

2.设A={所有实数x}，A的代数运算a。b =a+b+ab( ) A.既适合结合律又适合交换律 C.不适合结合律但适合交换律

B.适合结合律但不适合交换律 D.既不适合结合律又不适合交换律

3.设A={所有有理数x}，A的代数运算是普通加法，则以下映射作成A到A的一个子集A的同态满射的是( ) A.x→|x| C.x→x2

B.x→2x D.x→|x|

4.在非零复数乘法群C*中，阶为2的元有______个.( ) A.0个 C.2个 5.设M2(R)=???环是( ) A.有单位元的交换环 C.无单位元的非交换环

B.无单位元的变换环 D.有单位元的非交换环 B.1个 D.3个

??a0??那么这个方阵?a,b?R,R为实数域?按矩阵的加法和乘法构成R上的二阶方阵环，???0b??二、填空题(本大题共9小题，每小题3分，共27分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.模8的剩余类加群Z8有__________个生成元. 7.若α=(123)(45),β=(2345),则βα-1=__________. 8.设循环群G=(a),如果a的阶为n,则G同构于__________. 9.整数环有__________个可逆元.

10.剩余类环Z5的零因子个数等于__________. 11.剩余类环Z6的子环有__________个.

12.整环I={所有复数a+b?5(a,b是整数)},则I的单位是__________.

三、解答题(本大题共3小题，第15小题6分，第16小题14分，第17小题12分，共32分)

15.若A={a,b,c,d}对于代数运算“o”来说作成群,且除单位元以外,每个元的阶都是2,试作出A的代数运算表.

16.找出模12的剩余类环Z12的所有子环,这些子环是否都是理想?为什么? 17.偶数环2Z的主理想(4)含有哪些元?2Z/(4)含有哪些元?2Z/(4)是否为域?为什么？ 四、证明题(本大题共3小题，第18小题6分，第19,20小题各10分，共26分) 18.若F是一个有四个元的域,则F的特征是2.

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