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①：无向图基本概念
②：tarjan算法求无向图割边

前言
第一次写算法，讲得肯不透彻，有误还请指教awa

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一、回顾
二、tarjan算法
- 2.1、求割边并输出
- 2.2、求连通分量

一、回顾

先来回顾一下dfs的基本框架：

//存图方式：vector(g[N])
void dfs(int u){//u:当前节点vis[u]=true;for(int& v:g[u]){//访问u连到的每个节点if(!vis[v]) dfs(v);}
}

二、tarjan算法

请注意，这里讲的仅限于无向图，有向图的算法会稍有不同。

首先我们可以确定的是回边一定不是桥¹。
那么就只需要判断树边了。
回顾割边的定义，删边后两端断开，那么就意味着一端的点永远无法通过一条路径回到另一端，在DFS-tree上就体现为下方的节点永远无法通过非树边回到上方的点。如果成立，即只能通过树边相连，那么这条树边就是桥了！（因为是树，每个节点以自己为终点只会有一个直系父亲）

tarjan算法定义了两个数组：depth[]和low[]，定义如下：

depth[i]：节点i在DFS-tree上的深度。
low[i]：在dfs-tree上，以节点i及其子孙为起点的回边回到的最低高度。

假设我们已经算出每个节点的depth(下简称dep)和low，如何判断割边呢？
（务必注意，dep和low越大意味着越晚被遍历）
分类讨论一下吧：(假设目前在处理tree²上u->v边)

low[v]<=dep[u]low[v]<=dep[u]low[v]<=dep[u]：意味着v(下方点)能回到u(上)及u以上的点，此时拿掉u-v，仍有至少1条路径使v能回溯到上面，不会断开，故不是桥。
low[v]>dep[u]low[v]>dep[u]low[v]>dep[u]：意味着v只能回到u以下，此时若拿掉u-v，u、v间回断开，故是桥。

(很久以前的笔记)

至此，我们已经明确割边的判断，最后一件事便是求low值了:

未访问过的点（树边）：那么这是原节点的子孙，只需在dfs改点后将二者low取min(因为存在下方没有树边的情况此时不需更新low)
已访问的点（回边）：(边u->v)取low[u]=min(low[u],dep[v])，注意回边终点用dep而非low，因为low去的时候回到的最早，不能二次回边。

2.1、求割边并输出

//vector<> g存图
int d=0;//深度从0开始
void dfs(int u){vis[u]=1;dep[u]=low[u]=d++;for(int i=0;i<g[u].size();++i){int& v=g[u][i];if(!vis[u]){//树边dfs(v);low[u]=min(low[u],low[v]);//更新 low[]值//仅在是树边时判断if(low[u]>dep[v]) printf("%d-%d\n",u,v);}else{//回边low[u]=min(low[u],dep[v]);}}
}

2.2、求连通分量

//求图的连通分量int st[N],tp=0;//栈
int cn;//分量数量
int d=0;
void dfs(int u){vis[u]=1;dep[u]=low[u]=d++;st[tp++]=u;//入栈for(int i=0;i<g[u].size();++i){int& v=g[u][i];if(!vis[u]){dfs(v);low[u]=min(low[u],low[v]);if(low[u]>dep[v]){printf("第%d个连通分量：",++cn);int t;do{t=st[tp--];printf("%d ",t);}while(t!=u);printf("\n");}}else{low[u]=min(low[u],dep[v]);}}return;
}
#if 0
算法实现：若u->v是桥，则当前栈出到v(v出)。
#endif

顺带一提，边-2-连通图 指至少删掉2条边才不连通（即无桥）。

-----THE END-----
THANK YOU !

证明：
因为是无向图，所以dfstree上的有向边在原图上无向，那么dfstree底图上回边形成的环在原图也是成立的，那么对于环上的任意u,v，都至少有2条路径互通，拿掉一条后至少剩一条，所以回边不是桥。
如图： ↩︎
即DFS-tree，下同。 ↩︎

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