近世代数笔记和题型连载：第一章（代数系统引入）

文章目录

引言抽象代数概述
概念部分
- 1.集合上的n元运算（定义）
- 2.运算封闭性（定义）
- 3.代数系统（定义）
- 4.运算表（相关概念）
- 5.同类型代数系统（定义）
题型
- 附录：相关概念介绍

引言抽象代数概述

代数是数学的一门分支，大致可以分为初等代数学和抽象代数学两部分。
初等代数学是指19世纪上半叶以前发展的方程理论，主要研究某一方程是否可以求解以及如何求出方程所有的根，以及方程的根有何性质等问题。
抽象代数也称为近世代数，产生于19世纪。一般认为法国数学家伽罗瓦是近世代数的创始人，因为他使得代数学作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学。

概念部分

1.集合上的n元运算（定义）

定义：对于一个非空集合，从中取n个元素进行映射，映射的结果为该集合中的唯一一个元素。

要求：能够判断某运算是否是某一集合的n元运算：
首先判断集合是否为空集，接着判断其n个元素和映射结果是否都属于该集合。

示例（集合上的一元运算）：

示例（集合上的二元运算）：

2.运算封闭性（定义）

定义：如果运算结果仍然和参与运算的运算数在相同的一个集合中则称该运算具有封闭性，简称闭运算。某一运算对于某一个集合满足封闭性是该运算是该集合上的n元运算的必要条件。

要求：能够判断某一集合上的某一运算是否满足封闭性。
运算结果和运算数都属于同一个集合时才满足封闭性。

运算封闭性示例：

3.代数系统（定义）

定义：一个由非空集合和定义在该集合上的所有运算所构成的整体。

要求：能够理解，并能根据题意列出运算表。

代数系统示例：

4.运算表（相关概念）

定义：表示一元或二元运算的结果的二维表格。

要求：能够看懂运算表并进行分析。

示例（一元运算表和二元运算表）：

5.同类型代数系统（定义）

定义：同类型代数系统需要满足三个条件：两个代数系统的运算个数相同，对应运算的运算数个数也相同，并且代数常数的个数相同。

要求：能够判断两个代数系统是否同类型。

题型

1.Mn ( R ) 上定义一个一元运算可以是？

解析：概念题，考察集合上的运算的概念。
Mn( R )表示n阶实矩阵，其上的一个一元运算可以是转置、每个元素取相反数等等，这些运算的运算结果仍然属于n阶实矩阵集合。但是不能是求逆运算，因为求逆运算要求这个n阶实矩阵的行列式不为零，所以对于一个行列式为零的n阶实矩阵，其求逆运算的结果并不属于n阶实矩阵集合中。

2.设B={1,2}，写出P(B)上的对称差二元运算表和~运算的运算表

解析：简单理解题，考察作运算表的方法。
P(B)表示的是B的幂集，即由B的子集构成的集合，所以本题中P(B)即为{{},{1},{2},{1,2}}。二元运算表中行号表示左运算数，列号表示右运算数，相应的矩阵内填写运算结果；一元运算表的行号表示运算元素。
本题的结果如下所示：

3.下面三个代数系统是同种类代数系统的是（）

解析：概念题，考察同种类代数系统的概念。
同种类代数系统要求代数系统的运算个数相同、代数常数的个数相同并且对应运算的运算数相同，进行逐一检验即可。本题中三个代数系统的运算个数相同，均为3个；代数常数的个数相同，均为2个；但是对应运算的元数不同（V3中补集运算是一元运算），因此只有V1和V2是同种类代数系统，而V3不是同种类代数系统。

4.以下哪些运算是不封闭的（）

解析：简单理解题，考察运算封闭性的概念。
自然数相减可能是负数，不满足封闭性；整数相除可能是小数，不满足封闭性；C选项中的运算实际上是求出两个数之间的质数个数，运算结果可能为0，0不在集合A中，不满足封闭性，因此答案为ABC。

5.设A={1,2,3…10}，则下面哪些二元运算*是封闭的（）

解析：简单理解题，考察运算封闭性的概念。
两个数的最大值或最小值自然属于这两个数的集合，满足封闭性；最大公约数一定属于该集合，满足封闭性；最小公倍数不一定属于该集合，如9和10的最小公倍数90。因此本题的答案为ABC。

6.对于运算+ - * |x-y| max min |x|，下列哪些集合对于该运算封闭？

解析：简单理解题，考察运算封闭性的概念。
①对于加法运算，整数加法、自然数加法、偶数加法都属于原有集合，但是对于CD集合不成立，选项为ABE；
②对于减法运算，整数减法和偶数减法都属于原有集合，但是对于自然数和CD集合均不一定成立，因此选项为AE；
③对于乘法运算，整数乘法、自然数乘法、偶数乘法都属于原有集合，但是对于CD集合均不一定成立，因此选项为ABE；
④对于绝对值相减的运算，整数集合、自然数集合、C选项集合和偶数集合都满足封闭性，但是D选项集合不满足，因此选项为ABCE；
⑤对于最大值最小值运算，所有集合均满足封闭性，选项为ABCDE；
⑥对于绝对值运算，所有集合均满足封闭性，选项为ABCDE。

附录：相关概念介绍

映射：映射是指两个非空集合之间的对应关系。对于其中一个集合中的任意一个元素，在另一个集合中都存在唯一一个元素与之对应，这种关系称为映射。
Mn( R )：这是n阶实矩阵的表示符号。
+n（n为下标）：表示模n加法。
GCD和LCM：GCD表示求最大公约数；LCM表示求最小公倍数。

本系列的下一篇文章为：第二章：二元运算性质