先验知识

正规子群normal subgroup：∀a∈G,H≤G,\forall a\in G,H\le G,∀a∈G,H≤G,有aH=Ha,aH=Ha,aH=Ha,则称HHH是GGG的正规子群，记作H⊴GH\unlhd GH⊴G。如果H≠GH\neq GH=G，那么称HHH是GGG的proper normal subgroup，记作H◃GH\triangleleft GH◃G。通常，我们讨论的都是H≠GH\neq GH=G的情况，所以下文中都直接使用H◃GH\triangleleft GH◃G。

其中群GGG本身和单位元{e}\{e\}{e}是群GGG的正规子群。
且H◃G↔∀a∈G,aHa−1⊂HH\triangleleft G\leftrightarrow \forall a\in G,aHa^{-1}\subset HH◃G↔∀a∈G,aHa−1⊂H
证明：
“→:”“\rightarrow: ”“→:”H◃G→∀a∈G,aH=Ha→∀a∈G,aHa−1=H⊂HH\triangleleft G\rightarrow \forall a\in G,aH=Ha\rightarrow \forall a\in G,aHa^{-1}=H\subset HH◃G→∀a∈G,aH=Ha→∀a∈G,aHa−1=H⊂H
“←:”“\leftarrow: ”“←:”∀a∈G,aHa−1⊂H→∃h1,h2∈H,ah1a−1=h2→ah1=h2a∈Ha→aH⊂Ha;\forall a\in G,aHa^{-1}\subset H\rightarrow {\exists}h_1,h_2\in H,ah_1a^{-1}=h_2\rightarrow ah_1=h_2a\in Ha\rightarrow aH\subset Ha;∀a∈G,aHa−1⊂H→∃h1,h2∈H,ah1a−1=h2→ah1=h2a∈Ha→aH⊂Ha;同理，Ha⊂aH;Ha\subset aH;Ha⊂aH;故，aH=Ha,H◃G。aH=Ha,H\triangleleft G。aH=Ha,H◃G。

商群：有H◃G,GH\triangleleft G,GH◃G,G对HHH的所有不同陪集的集合，记作G/H，G/HG/H，G/HG/H，G/H关于子集的乘法构成一个群。

证明：单位元+逆元+封闭性+结合性
单位元：G/H={aH∣H◃G,a∈G},G/H=\{aH|H\triangleleft G,a\in G\},G/H={aH∣H◃G,a∈G},已知aH⋅H=H⋅aH=aH,aH·H=H·aH=aH,aH⋅H=H⋅aH=aH,所以HHH是单位元
逆元：aH⋅a−1H=aa−1H=H;a−1H⋅aH=a−1aH=H,aH·a^{-1}H=aa^{-1}H=H;a^{-1}H·aH=a^{-1}aH=H,aH⋅a−1H=aa−1H=H;a−1H⋅aH=a−1aH=H,所以a−1Ha^{-1}Ha−1H是aHaHaH的逆元
封闭性：∀aH,bH∈G/H,aH⋅bH=ah1bh2∣h1,h2∈H=abh1h2∣h1h2∈H=abh∣h∈H=abH,\forall aH,bH\in G/H,aH·bH=ah_1bh_2|h_1,h_2\in H=abh_1h_2|h_1h_2\in H=abh|h\in H=abH,∀aH,bH∈G/H,aH⋅bH=ah1bh2∣h1,h2∈H=abh1h2∣h1h2∈H=abh∣h∈H=abH,因为a,b∈G,→ab∈G,a,b\in G,\rightarrow ab\in G,a,b∈G,→ab∈G,所以abH∈G/HabH\in G/HabH∈G/H
结合性：(aH⋅bH)⋅cH=abH⋅cH=abcH;aH⋅(bH⋅cH)=aH⋅bcH=abcH(aH·bH)·cH=abH·cH=abcH;aH·(bH·cH)=aH·bcH=abcH(aH⋅bH)⋅cH=abH⋅cH=abcH;aH⋅(bH⋅cH)=aH⋅bcH=abcH,所以(aH⋅bH)⋅cH=aH⋅(bH⋅cH)(aH·bH)·cH=aH·(bH·cH)(aH⋅bH)⋅cH=aH⋅(bH⋅cH)

群同态：有两个群(G,⋅),(G′,∗)(G,·),(G',*)(G,⋅),(G′,∗),fff是GGG到G′G'G′的一个映射，满足f(a⋅b)=f(a)∗f(b),f(a·b)=f(a)*f(b),f(a⋅b)=f(a)∗f(b),称fff为GGG到G′G'G′的一个同态，记作G∼G′G\sim G'G∼G′

单同态：如果fff是单射，那么fff是单同态
满同态：如果fff是满射，那么fff是满同态
同构：如果fff是双射，那么fff是同构

Im(f)=f(G)={f(a)∣a∈G},Im(f)≤G,Im(f)=f(G)=\{f(a)|a\in G\},Im(f)\le G,Im(f)=f(G)={f(a)∣a∈G},Im(f)≤G,如果Im(f)=G′Im(f)=G'Im(f)=G′,则fff是满同态；
ker(f)={a∣a∈G,f(a)=e′},ker(f)◃G,ker(f)=\{a|a\in G,f(a)=e'\},ker(f)\triangleleft G,ker(f)={a∣a∈G,f(a)=e′},ker(f)◃G,如果ker(f)={e},ker(f)=\{e\},ker(f)={e},则fff是单同态；所有kernel都是正规子群，所有正规子群都是某个映射的kernel

证明ker(f)◃G:ker(f)\triangleleft G:ker(f)◃G:
令H=ker(f),H=ker(f),H=ker(f),则要证的就是aH=Ha,∀a∈G,aH=Ha,\forall a \in G,aH=Ha,∀a∈G,即aHa−1⊂HaHa^{-1}\subset HaHa−1⊂H
f(aHa−1)=f(a)∗f(H)∗f(a−1)=f(a)∗e′∗f(a−1)=f(a)∗f(a−1)=f(a⋅a−1)=f(e)f(aHa^{-1})\\ =f(a)*f(H)*f(a^{-1})\\ =f(a)*e'*f(a^{-1})\\=f(a)*f(a^{-1})\\=f(a·a^{-1})\\=f(e)f(aHa−1)=f(a)∗f(H)∗f(a−1)=f(a)∗e′∗f(a−1)=f(a)∗f(a−1)=f(a⋅a−1)=f(e)
现在要求f(e)f(e)f(e)
假设a∈ker(f),a\in ker(f),a∈ker(f),
f(a⋅e)=f(a)∗f(e)f(a)=f(a)∗f(e)e′=e′∗f(e)f(a·e)=f(a)*f(e)\\ f(a)=f(a)*f(e)\\ e'=e'*f(e)f(a⋅e)=f(a)∗f(e)f(a)=f(a)∗f(e)e′=e′∗f(e)
对于G′G'G′中的单位元e′e'e′，任何数与单位元做运算都是该数本身，所以f(e)=e′f(e)=e'f(e)=e′
故f(aHa−1)=e′→aHa−1⊂ker(f)=H,f(aHa^{-1})=e'\rightarrow aHa^{-1}\subset ker(f)=H,f(aHa−1)=e′→aHa−1⊂ker(f)=H,证毕。

自然同态normal homomorphism：N◃GN\triangleleft GN◃G，f:G→G/Nf:G\rightarrow G/Nf:G→G/N是满同态，f(g)=gNf(g)=gNf(g)=gN，称自然同态。

第一同构定理：f=σφ，σf=\sigma\varphi，\sigmaf=σφ，σ为同构。

条件1：f:G→G′f:G\rightarrow G'f:G→G′是一个满同态，
条件2：N=ker(f),N=ker(f),N=ker(f),
则G/N≅G′。G/N\cong G'。G/N≅G′。即σ\sigmaσ为同构，f=σφ。f=\sigma\varphi。f=σφ。
证明：
要证σ\sigmaσ是同构的，即证同态+单同态+满同态。因为G/N={gN∣g∈G},φ:G→G/N,G/N=\{gN|g\in G\},\varphi:G\rightarrow G/N,G/N={gN∣g∈G},φ:G→G/N,即φ(g)=gN;f:G→G′,\varphi(g)=gN;f:G\rightarrow G',φ(g)=gN;f:G→G′,即f(g)=g′,g′∈G′;σ:G/N→G′,f(g)=g',g'\in G';\sigma:G/N\rightarrow G',f(g)=g′,g′∈G′;σ:G/N→G′,即σ(gN)=g′,g′∈G′。\sigma(gN)=g',g'\in G'。σ(gN)=g′,g′∈G′。所以我们定义σ(gN)=f(g),g∈G。\sigma(gN)=f(g),g\in G。σ(gN)=f(g),g∈G。

同态：
- 一个映射：要证aN=bN→σ(aN)=σ(bN)：aN=bN→a−1bN=N→a−1b∈N→f(a−1b)=1G→f(a−1)∗f(b)=1G→f(a−1)−1=f(b)→f(a)=f(b)→σ(aN)=σ(bN)aN=bN\rightarrow \sigma(aN)=\sigma(bN)：\\aN=bN\\\rightarrow a^{-1}bN=N\\\rightarrow a^{-1}b\in N\\\rightarrow f(a^{-1}b)=1_G\\\rightarrow f(a^{-1})*f(b)=1_G\\\rightarrow f(a^{-1})^{-1}=f(b)\\\rightarrow f(a)=f(b)\\\rightarrow \sigma(aN)=\sigma(bN)aN=bN→σ(aN)=σ(bN)：aN=bN→a−1bN=N→a−1b∈N→f(a−1b)=1G→f(a−1)∗f(b)=1G→f(a−1)−1=f(b)→f(a)=f(b)→σ(aN)=σ(bN)
- 保持运算：要证σ(aN⋅bN)=σ(aN)∗σ(bN)：σ(aN⋅bN)=σ(abN)=f(ab)=f(a)∗f(b)=σ(aN)∗σ(bN)\sigma(aN·bN)=\sigma(aN)*\sigma(bN)：\\\sigma(aN·bN)\\=\sigma(abN)\\=f(ab)\\=f(a)*f(b)\\=\sigma(aN)*\sigma(bN)σ(aN⋅bN)=σ(aN)∗σ(bN)：σ(aN⋅bN)=σ(abN)=f(ab)=f(a)∗f(b)=σ(aN)∗σ(bN)
单同态：要证单同态，即证ker(σ)=e=Nker(\sigma)={e}=Nker(σ)=e=N(因为G/NG/NG/N的单位元为NNN)。

对任意aN∈ker(σ),aN\in ker(\sigma),aN∈ker(σ),有σ(aN)=f(a)=e′,\sigma(aN)=f(a)=e',σ(aN)=f(a)=e′,故a∈ker(f)=N,→aN=N,a\in ker(f)=N,\rightarrow aN=N,a∈ker(f)=N,→aN=N,故ker(σ)=Nker(\sigma)=Nker(σ)=N

满同态：要证满同态，即证Im(σ)=G′Im(\sigma)=G'Im(σ)=G′，对∀a′∈G′,\forall a'\in G',∀a′∈G′,有σ(aN)=a′\sigma(aN)=a'σ(aN)=a′

对于G′G'G′中任意元素a′a'a′,由于fff是满同态，有f(a)=a′f(a)=a'f(a)=a′存在，所以有相应的aNaNaN存在，即σ(aN)=a′\sigma(aN)=a'σ(aN)=a′,所以σ\sigmaσ也是满同态。

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