差速转向机器人数学模型

机器人控制方面有两种模型，一是自行车模型，二是差速模型，今天主要推导了差速模型，实验室的履带车都是差速模型。

参考了https://blog.csdn.net/iProphet/article/details/83661753博文。

假设电机输出的角速度为 $\phi l$ 和 $\phi r$ ，轮子驱动半径为r，有如下式子：

$v_{l}=\frac{\phi _{l}cos(\theta )}{2}$

$v_{r}=\frac{\phi _{r}cos(\theta )}{2}$

c点的瞬时速度为 $v_{c}=\frac{v_{r}+v_{l}}{2}$ 。

左右轮间的间距为l，转弯半径oc到c的距离为R，转弯时有 $w_{l}=w_{r}=w_{c}$ ,因为车辆转弯时是同轴的。故有 $l=\frac{v_{r}}{w_{r}}-\frac{v_{l}}{w_{l}}$

,进而有 $w_{c}=\frac{v_{r}-v_{l}}{l}$ 。

所以可知转弯半径 $R=\frac{v_{c}}{w_{c}}=\frac{l(v_{r}+v_{l})}{2(v_{r}-v_{l})}$ .

上述是基础。需要整合一下，也是最关键一步。结合图分析有如下的：

$x{}' =v_{c}cos\theta =\frac{v_{r}+v_{l}}{2}cos\theta$

$y{}' =v_{c}sin\theta =\frac{v_{r}+v_{l}}{2}sin\theta$

$\theta {}' =w_{c} =\frac{v_{r}-v_{l}}{l}$

需要对上述式子离散化处理：T为采样时间。

$x(t+1)=x(t)+v_{c}cos\theta \times T$

$y(t+1)=y(t)+v_{c}sin\theta \times T$

$\theta (t+1)=theta (t)+w_{c}\times T$

这就是所谓的一个系统的被控对象的状态方程，后续可对其设计控制器等等。这里我们选择输入为vl和vr。

如果是在Ros机器人操作系统框架下，那么我们选择的输入控制量为 $w_{c}$ 和 $v_{c}$ ，但是在控制电机时，我们比较喜欢vl和vr，所以需要进行反解算出 $v_{r}=v_{c}+\frac{w_{c}l}{2}$ , $v_{l}=v_{c}-\frac{w_{c}l}{2}$ 。

我们要做一个航向角跟踪 a=k*error。

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