• 二元线性方程
• 三元线性方程
• 线性不等式

线性方程

在社会快速步入5G和物联网的时代，汽车行业正在发生着深刻的变革，尤其是AI和自动化驾驶、导航技术的结合让汽车更智能。这些技术的基础是数学方程的应用。本章学习如何解线性方程，以及多元方程及其图像。

二元线性方程

之前我们介绍了一元方程的求解，这里我们解二元方程需要用到方程组的概念。

方程组：两个及以上线性方程的组合

如果只是求2x + y = 7 或者 x - 2y = 6的解，那么它们都有无穷个解，且都是一条直线。把它们组成方程组求解，则是找到两个方程的公共解(两条直线的交点)。

求方程组的解有三种方法

• 图像的方法：图像是否有交点

如上图例，相交的两直线对应的方程组有一个解；平行的两直线对应的方程组无解；重叠的两直线对应的方程组有无数个解。

1. 至少有一个解的方程组称为相容方程组，无解的方程组称为不相容方程组。
2. 方程组中各个方程有各自的解集，如：两直线有一个交点或者平行，称之为方程相互独立；方程组中一个方程所有解也是另一个方程的解，即两直线完全重叠，称之为相关方程组。

虽然用直观图像的方式得到方程组的解很方便，但在坐标系中颗粒度很小或者有非整数解等情况下，很难直观的得到解。

• 代换的方法：把方程中一个变量用另一个变量表示，然后代入到其它方程求解

• 消元的方法：根据加减乘除的性质将方程组中变量减少，再求解的过程

这里通过两个方程式相加，消去变量y，5x = 5 可得 x = 1。然后再把x = 1代入其中一个方程求y的解即可。消元思路就是把两个方程通过加减乘除消掉其中一个变量，并求解另一个变量的解，然后再将得到的解代入其中任一方程中求另一个变量的解。

三元线性方程

与二元类比，三元线性方程的一般式为Ax + By + Cz + D = 0，它的解是(x，y，z)。这就意味着无法在二维坐标系中找到解对应的位置，需要三维空间定位它的位置。一个三元线性方程的解是一个平面，要找到三元线性方程组的解就是找这些平面的交点。

三元方程组只有一个解

三元方程组无解 - 1

三元方程组无解 - 2

三元方程组无解 - 3

三元方程组无解 - 4

三元方程组无穷个解 - 1

三元方程组无穷个解 - 2

三元方程组无穷个解 - 3

找到一组解使三个三元方程同时成立称为解三元方程组。解三元线性方程有三种方式

1. 综合运用解二元线性方程的消元法和代换法进行降维求解。
2. 消元法的另一种简单表示形式：矩阵求解
3. 行列式求解

方法1请参考二元方程的求解过程，把消元、代换结合应用，不再赘述。方法2需要了解什么是矩阵。矩阵是将数字按行列排列的矩形数组。m行n列的矩阵读作m*n矩阵，其中每一个数字称为矩阵的元素或实体。如下

3 * 4 矩阵：3行4列

用矩阵表示线性方程组，我们需要把方程组中各个方程写成统一的一般式，然后将各项中的系数按列排成纵列构成矩阵。

方程组用矩阵表示：相同变量的系数排成一列

将矩阵转为方程组形式

以上两个例子中的矩阵称为方程组的增广矩阵。方程组以增广矩阵表示后我们可以通过行变换的方式(目的是为了消元)求解。

• 两行互换
• 一行乘以非0倍数
• 将一行乘以非0倍数加到另一行中

两行互换

第二行乘以-3倍

第二行乘以-3倍并加到第一行中

对于相容且相互独立的方程组，增广矩阵通过行变换后可得到梯形矩阵，即矩阵中非常数项系数构成的部分对角线元素为1，对角线左下方元素都为0。

a、b、c、d、e、f 都是实数

梯形矩阵用方程组来表示，再求解

上图例中梯形矩阵转为方程组在求解

增广矩阵作行变换变梯形矩阵的一般思路

第一行第一个元素变1；第二行第一个变0，第二个变1；依次进行

前面是相容且独立方程组的矩阵应用，确切地说是只有一个解的情况。那么对于不相容或相关的方程组怎么应用矩阵呢？

经过行变换，左边方程组无解，右边有无穷个解

方法3行列式求解。首先了解一下什么是方阵？行、列数相同的矩阵叫方阵。每一个方阵都有一个相关实数，它是行列式的值。

方阵的行列式，它的值ad-bc

求一个3*3方阵对应行列式的值，就要先得到行列式中一个元素的余子式。行列式中一个元素的余子式是去掉该元素所在的行和列后，余下的元素构成的行列式。

不同元素的余子式

3*3矩阵第一行各元素的代数余子式

行列式中不同元素项对应的符号

克拉默规则是用行列式求解方程组的方法，可通过消元法求解一般形式的方程组得到。以二元和三元线性方程组为例

克拉默规则

这里要注意：当D = 0时克拉默规则就无法应用，同时它意味着方程组中的方程是不相容或者相关的。

线性不等式

关于线性不等式特别是二元线性不等式，可参考【函数及其图像】中所讲的方法来确定不等式解范围。