z变换解差分方程例题_某些常见微分方程的一般解法（工具向）

这篇笔记写自很久很久之前了，那本笔记又不是很想翻（因为一开始写笔记的时候语言过于…不想再看），但是经常性的又会忘记某些比较重要的内容。那么在这里简单的做个存档，毕竟翻知乎比翻纸质笔记方便多了。

这篇的重点是最后四种微分方程的解法，也是由于总是忘记这几个才想在这里做一个存档…

分离变量微分方程

齐次微分方程

做变换

变量替换微分方程（1）

1、

成比例：

做变换

可分离变量。

2、

不成比例：

做变换：

，使常数项消掉。

齐次微分方程。

3、尝试是否是恰当微分方程。

变量替换微分方程（2）

做变换

：

可分离变量。

线性微分方程

1、当

时：

2、当

时，做变换

，求

：

伯努利微分方程

做变换

线性方程。

恰当微分方程

判定有：

否则尝试积分因子：

注意积分因子的变量。减谁除谁积下标。

在上述积分因子不存在的情况下，尝试构造关系：

其中

是自己想出来的连续函数。于是有积分因子：

实际上前两个的积分因子正是这个的特殊形式。

分项组合法求解。

可解出

的方程

令

：

利用

两端求导消去左边的

，右边视作二元函数对

求导：

求解。易化成解出导数的情况。

若为

，则直接写出：

若为

，则写成参数式：

若为隐式

，则解由两参数隐式条件约束：

可解出

的方程

令

：

利用

消去左边的

，右边视作二元函数对

求导：

求解。

求解后处理同上。

可解出变量的微分方程总结：

左边对某个变量求导变成

，利用

的关系化成

或

的微分方程。最后无论得到什么形式的解都能够处理。

不显含

的方程

令

，则

刻画了一条在

平面上的曲线。如果能够恰到好处的

看出这条曲线的参数形式：

即

才是真正的参数，并且直接得到

的参数表示。那么对于

有：

于是方程的解可表示为参数形式：

但是“看出曲线的参数化表达”这样的操作是没有指导意义的。

这种时候就得看着那个方程

发挥自己的想象力。

若先尝试有一个

代进

，有

。而最后能显式的解出

的话，那这会比直接“看出”要来的可操作一点。

可以更进一步，先看着那个方程，尝试一种

。

是自己假设的、能在接下来的步骤中易于化简的函数。代入方程中有

。而这个尝试正是能将方程“化简 ”的，能恰到好处的

直接解出来

，那么再反向代入就有

。

甚至再进一步，找到方程里面有一部分

，令

，代入。最终的目标都是要解出

的参数式

。不过这样设的话最后也得需要解出

。

不显含

的方程

令

，则

刻画了一条在

平面上的曲线。如果能够恰到好处的看出这条曲线的参数形式：

即

才是真正的参数，并且直接得到

的参数表示。那么对于

有：

于是方程的解可表示为参数形式：

要点仍是怎么假设函数，带入化简，然后直接解出一个参数化的表达式。

不显含某变量方程总结：

令

后，假设

的某一含参表达式，带入后方程直接的解出所在变量的参数表达式。再进一步利用

求得另一变量的参数表达式。

这个假设的形式怎么设，完全取决于方程。最简单的设法有

之类，若方程有根式还可试一试三角函数等等。

除了这些求解的具体方法之外，前面的某些方法有些时候还得倒置两个变量。

因为只是以前的一篇小笔记的，所以疏漏的东西很多。但本来也就这样。

补充一点解释，以例题的形式。^[1]

例：

这是可以解出

的微分方程，并且也是不显含

的微分方程。

1、若当做解出

的微分方程：

令

，即得

的参数表达式：

为消去左边的

，对

求导：

最后得参数解：

2、若当做是不显含

的方程，则考虑如何设

使得方程可以直接化出

。

而此时任意的设

都可以化出。那么可以选择令

：

于是

：

最后得参数解：

这一题看上去二者是类似的，因为解出

的过程是同步的，而设一个

似乎也只是“抖一个机灵”的样子。但实际上即使有一个同步的过程，二者的难度也会差很多。见下一个例题。

例：

这是可以解出

的微分方程，并且也是不显含

的微分方程。

1、若当做解出

的微分方程：

令

，即得

的参数形式：

为消去左边的

，对

求导：

有

及

。

可认为后者应为含有任意常数的通解，而前者应当只能是一个特解。因此不解出

。而代入方程发现有：

的确不能是任意常数的解。

对于后者：

最后得参数解：

以及解：

2、若当成不显含

的方程。发现任意的设

都能化出

。那么可以选择设

：

于是

：

最后得参数解：

无论是求解难度还是最后的形式都要好得多。不过似乎漏了一个解的样子。

漏解是在

时，将

除过去是在

的时候才能如此。而这也是漏解很常见的一个原因。因此在

的时候即可得另一个解

。

这道题告诉我们，约分是不能随意约分的，除也是不能随意除的。一切都要考虑“不能约分/不能除过去的时候会发生什么？”以及那个简单的解是不是能让任意常数出现。

（实际上本例题的1、中就除以了一个

，但这是显然不等于零的。）

（一般来说那个特殊的解可能是类似于奇解，而且不含任意常数。于是最好的方法就是把那个条件直接代入方程中看看会出现什么结果。）

例：

显然不宜解出

，否则得加上正负号，使得分析变得麻烦。这同时也是不显含

的方程。

尝试做

的假设使得能直接化出

。发现最左边的

正是麻烦，且其是二次的，同时最右边也有二次的。

不妨设

，此为

的形式，并且很简单的也能解出

。

在同时除

时假设

，而平凡解也不是我们想要的。

于是

。为求

，有：

可见有

可以除过去：

最后有参数解：

不过可消参，有：

用解出

的解法必然是比这要更麻烦的。

例：

同样不宜解出

。首先是不知道开根号会出现什么奇奇怪怪的问题，再者三次根号也不是很好处理。这是不显含

的方程。

要找到

的一个假设使方程能直接解出

。考虑到

与

同次数，可令

。这是

的形式。

在

时除过去。而在

时求解出解之后考虑。

此时

：

这不涉及到除的问题，那么无需考虑什么：

最后得到参数解：

不过这个参数解应该是

的，即

。由原方程可以得到

时

。这个是方程给出的，现在需要判断此方程在

是是否有

。若没有，那么这个点将会间断。

方程在这个点是符合条件的。于是通解就是自然定义域下的这个参数方程。

最后一个例题是经常性出现的一种状况。在某个换元之后求解出现了一个关于

的一次积分。这导致出现

项。

例：

这是高数书所说的的可降阶微分方程。不显含

，于是将

视作自变量。

令

，

：

如果将

再代入去求解

函数，那么就会遇到正负号以及根号下根号这样的问题（根号下根号这种情况只是这题是一个特殊情况，而正负号是无法避免的）。

不过若反向解出

的话，那就是平方了。而平方一般不会出现

很大的问题。（比如在最后面就出现了一点点问题。）

即得：

为消去左边的

，对

求导：

最后得参数解：

不放心，可以带回检验一下：

约分是在

时。而

即

。显然我们所求的不是平凡解，不存在矛盾之处。

而右边有：

比较轻率的就可以得到左右两边相等这样的结果。但实际上得到的是：

因此实际上还得规定

才是最终的结果。而

是作为参数的变量，那么在实际操作中要么令

，这样

可以取到任意（自然定义域内）的值；要么就在

的时候额外限定一下

的取值范围。

这道题告诉我们，随意的开根号或者平方都或许会出现一定的问题。而开根号的问题很可能会更严重。特别是偶数次根号的时候，在一开始分析时就得处理正负号因此导致分析的麻烦。如果不得已开了根号或者平方了。那么最后最好再代入方程看看哪里会出问题。

参考

^大多数题目来自于《常微分方程学习辅导与习题解答》（朱思铭）