LTI系统判断因果性稳定性

10.7离散时间系统系统函数与Z域分析 一．单位样值响应与系统函数 1．由零极点分布确定单位样值响应 由零极点分布确定单位样值响应(续) 利用z～s平面的映射关系 10.8 系统函数的方框图表示 在第二章已经讨论了差分方程描述的LTI系统的方框图表示。本届内容与其类似，主要是从系统函数出发讨论与方框图的互相表示。 直接二型方框图尤其重要。 10.9 用单边z变换解差分方程 序言 例1 b.由储能引起的零输入响应 c.整理(1)式得全响应 补充：z变换与拉普拉斯变换的关系 z平面与s平面的映射关系 几种情况 冲激响应不变法进行数字滤波器的设计 系统频响的几何求法 与拉氏变换求取系统频响的几何方法类似，只是这里运动的点在单位圆上。 幅频特性和相频特性的定性画法。 傅氏变换、拉氏变换、z变换的关系 1．三种变换的比较 2．频率的比较 3．s平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换 即 零输入响应为 差分方程解的验证 代入 比较 s平面 z平面 (1)s平面的原点 ，z平面 ，即 。 左半平面 虚轴 右半平面 左向右移 单位圆内 单位圆上 单位圆外 半径扩大 (2) (3) (4)z~s映射不是单值的。 1.?三种变换的比较 2.频率的比较 3.s平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换 4.z平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏变换(DTFT) 变换名称 傅里叶变换 拉普拉斯变换 z变换 信号类型 变量 模拟角频率 ，量纲：弧度/秒； 数字角频率 ，量纲：弧度； 是周期为 的周期函数 关系： 4.　z平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏变换(DTFT) 第 * 页 第10章 Z-变换 The Z-Transform III 单位样值响应与系统函数 系统函数的零极点分布对系统特性的影响 确定单位样值响应 稳定性 因果性 1.定义 2.?h(n)和H(z)为一对z变换对 1．定义 线性时不变离散系统由线性常系数差分方程描述，一般形式为 激励为因果序列 系统处于零状态 上式两边取z变换得 只与系统的差分方程的系数、结构有关，描述了系统的特性。 2． h(n)和H(z)为一对z变换 ●系统的零状态响应： ● 例1 则 解： 求系统的零状态响应 在零状态条件下，对差分方程两边取双边z变换 已知离散系统的差分方程为： 激励 二．系统函数的零极点分布对系统特性的影响 1.由零极点分布确定单位样值响应 2.离散系统的稳定性 3.系统的因果性 展成部分分式：(假设无重根) 的极点，可以是不同的实数或共轭复数， 决定了 的特性。其规律可能是指数衰减、上升， 或为减幅、增幅、等幅振荡。 :与H(z)的零点、极点分布都有关。 极点位置与h(n)形状的关系 s平面 z平面 极点位置 h(t)特点 极点位置 h(n)特点 虚轴上 等幅 单位圆上 等幅 原点时 左半平面 衰减 单位圆内 减幅 右半平面 增幅 单位圆外 增幅 2．离散系统的稳定性 对于稳定系统，只要输入是有界的，输出必 定是有界的(BIBO)。 (2)稳定性判据 (1)定义： 判据1：离散系统稳定的充要条件：单位样值响应绝对可和。 判据2：对于因果系统，其稳定的充要条件为： H(z)的全部极点应落在单位圆之内。即收敛域应包括单位圆在内: 。 (3)连续系统和离散系统稳定性的比较 沿虚轴 临界稳定的极点 含单位圆的圆外 含虚轴的右半平面 收敛域 H(z)的极点全部在单位圆内 H(s)的极点全部在左半平面 极点 系统稳定的充要条件 离散系统 连续系统 3．系统的因果性 系统因果性的判断方法： z域： 收敛域在圆外 输出不超前于输入 例2 下面方程所描述的系统是否为因果系统？ 解： 输出未超前于输入， 所以是因果系统。 例3 解： 不稳定系统 ?从时域判断 因果系统 ?从z域判断 极点在单位圆上，收敛域不包括单位圆→不稳定(边界稳定)。 h(n)为右边序列，收敛域为圆外，为因果系统。 例4 LTI系统， ，判断因果性、稳定性。 注意：对于因果系统，极点在单位圆内稳定。 ②从时域判断： 不稳定 ③从z域判断： 收敛域 ，极点在处 ， 是非因果系统，极点在单位圆内也不稳定。 ①从时域判断： 不是因果系统 由 可看出： 方程中包括三种基本运算：乘系数、相加、移位 (延迟)