python牛顿法解非线性方程组_科学网—求解多元非线性方程组F(x)=0的Newton-Raphson方法及其MATLAB实现

科学网对公式支持不太好，在博客园有相同博文

牛顿迭代法可以推广到多元非线性方程组 $boldsymbol{F}(boldsymbol{x})=boldsymbol{0}$的情况，称为牛顿-- 拉夫逊方法 (Newton-Raphson method). 当 $boldsymbol{F}(boldsymbol{x})$ 关于$boldsymbol{x}$ 的 Jacobi 矩阵 $boldsymbol{J}(boldsymbol{x}) = (cfrac{partial boldsymbol{F}}{partial boldsymbol{x}})$ 可逆时, 有

$$boldsymbol{x}^{(k+1)}=boldsymbol{x}^{(k)}- boldsymbol{J}^{-1}(boldsymbol{x}^{(k)})boldsymbol{F}(boldsymbol{x}^{(k)}),$$

求解非线性方程组的Newton-Raphson方法：

1、取初始点 $boldsymbol{x}^{(0)}$,最大迭代次数 $N$ 和精度要求 $varepsilon$, 置 $k=0$;

2、求解线性方程组 $boldsymbol{J}(boldsymbol{x}^{(k)})boldsymbol{d} = -boldsymbol{F}(boldsymbol{x}^{(k)})$;

3、若 $|boldsymbol{d}|

$boldsymbol{x}^{(k+1)} = boldsymbol{x}^{(k)}+boldsymbol{d}^{(k)}$;

4、若 $k=N$, 则停止计算；否则，置 $k = k+1$, 转(2).

function [x_star, it] = NewtonRapshon(fun,dfun,x0,ep,it_max)

if nargin <6 it_max = 100; end

if nargin<5 ep =1e-5; end

k = 1; err = 0; n = length(x0);

while k

d = -feval(dfun,x0)feval(fun,x0);

x1 = x0 + d;

err = norm(d,inf);

if err

x0 = x1; k = k+1;

end

x_star = x1; it = k;

用 Newton 法求非线性方程组$$begin{cases}

x_1^2+x_2^2-5=0,\

(x_1+1)x_2-(3x_1+1)=0,

end{cases}$$ $\begin{cases}

x_1^2+x_2^2-5=0,\\

(x_1+1)x_2-(3x_1+1)=0,

\end{cases}$

取初始点$boldsymbol{x}^{(0)}=[1,1]^T$, 精度要求 $varepsilon = 10^{-3}$.

在 MATLAB 中，

>> [x_star, it] = NewtonRapshon(Fun,JFun,[1;1])

x_star =

1.0000

2.0000

it =

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