信息学奥赛一本通 1196：踩方格 | OpenJudge NOI 2.6 4982:踩方格

【题目链接】

ybt 1196：踩方格
OpenJudge NOI 2.6 4982:踩方格

【题目考点】

1. 递推

【解题思路】

递推状态
这里用左，右，上代替东，西，北。
lil_ili为第i步向左走的走法数量
rir_iri为第i步向右走的走法数量
uiu_iui为第i步向上走的走法数量
fif_ifi为第i步的总走法数量，有fi=li+ri+uif_i=l_i+r_i+u_ifi=li+ri+ui
初始状态
第0步走法：第0步不走，也算1种走法：f0=1f_0=1f0=1
第1步走法：l1=r1=u1=1l_1=r_1=u_1=1l1=r1=u1=1， f1=3f_1=3f1=3
递推关系
当前是第i步，考虑第i-1步的走法如何影响第i步的走法。

只有第i-1步是向左或上走时，第i步才能向左走。（因为如果之前是向右走的，现在此处左边是一个已经走过的坍塌的格子。）
因而现在第i步向左走的走法数量是第i-1步向左和向上走法数量的加和。有：li=li−1+ui−1l_i=l_{i-1}+u_{i-1}li=li−1+ui−1
只有第i-1步是向右或向上走时，第i步才能向右走。有：ri=ri−1+ui−1r_i=r_{i-1}+u_{i-1}ri=ri−1+ui−1
无论之前怎么走，第i步都能向上走。有：ui=li−1+ri−1+ui−1u_i=l_{i-1}+r_{i-1}+u_{i-1}ui=li−1+ri−1+ui−1
第i步的总走法为第i-1步向上，向左，向右走法的加和
fi=li+ri+ui=li−1+ui−1+ri−1+ui−1+li−1+ri−1+ui−1=2(li−1+ui−1+ri−1)+ui−1f_i=l_i+r_i+u_i=l_{i-1}+u_{i-1}+r_{i-1}+u_{i-1}+l_{i-1}+r_{i-1}+u_{i-1}=2(l_{i-1}+u_{i-1}+r_{i-1})+u_{i-1}fi=li+ri+ui=li−1+ui−1+ri−1+ui−1+li−1+ri−1+ui−1=2(li−1+ui−1+ri−1)+ui−1
已知：fi−1=li−1+ui−1+ri−1f_{i-1} = l_{i-1}+u_{i-1}+r_{i-1}fi−1=li−1+ui−1+ri−1且ui−1=li−2+ri−2+ui−2=fi−2u_{i-1}=l_{i-2}+r_{i-2}+u_{i-2}=f_{i-2}ui−1=li−2+ri−2+ui−2=fi−2
所以：fi=2fi−1+fi−2f_i=2f_{i-1}+f_{i-2}fi=2fi−1+fi−2

【题解代码】

解法1：以第i步总走法数量为状态

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{int n, f[25];cin >> n;f[0] = 1, f[1] = 3;for(int i = 2; i <= n; ++i)f[i] = 2*f[i-1] + f[i-2];cout << f[n];return 0;
}

解法2：以第i步向左、右、上方向走法数量为状态

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 25
int main()
{int n, l[N], r[N], u[N];l[1] = r[1] = u[1] = 1;cin >> n;for(int i = 2; i <= n; ++i){l[i] = l[i-1] + u[i-1];r[i] = r[i-1] + u[i-1];u[i] = l[i-1] + r[i-1] + u[i-1];}cout << l[n] + r[n] + u[n];return 0;
}

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【题目链接】

【题目考点】

1. 递推

【解题思路】

【题解代码】

解法1：以第i步总走法数量为状态

解法2：以第i步向左、右、上方向走法数量为状态

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