信息学奥赛一本通 1225：金银岛 | OpenJudge NOI 4.6 1797:金银岛

【题目链接】

ybt 1225：金银岛
OpenJudge NOI 4.6 1797:金银岛

【题目考点】

1. 贪心

2. 部分背包问题

【解题思路】

该题为部分背包问题

1. 贪心选择性质的证明：

贪心选择：每次尽量多地选择单位价值最高的金属
单位价值：金属的价值除以重量，即vi/niv_i/n_ivi/ni

证明：存在最优解包含第一次贪心选择

假设对于所有最优解，都不包含第一次的贪心选择。
即假设单位价值最高的金属为g，存在重量为w的金属g没有被选择，不在最优解中。
在最优解中选择重量为w的金属（也许是几种金属），这部分金属的价值为vav_ava，重量为w的金属g的价值为vgv_gvg，因为金属g的单位价值最高，所以一定有vg≥vav_g \ge v_avg≥va。用重为w的金属g替换最优解中重为w的金属，此时这些选择的金属包含贪心选择，价值不会比替换前减少，也是最优解，这与假设相悖，假设不成立，原命题得证。

证明：前k次都进行贪心选择，最优解包含第k+1次贪心选择

假设对于所有最优解，都不包含第k+1次的贪心选择。
即假设此时剩下的金属中单位价值最高的金属为g，如果做贪心选择，可以选择重量为w的金属g。但最优解没有做贪心选择，说明最优解中存在至少重量为w的单位价值等于或低于金属g的金属。
在最优解中选择重量为w的单位价值等于或低于金属g的金属，这部分金属的价值为vav_ava，重量为w的金属g的价值为vgv_gvg，因为金属g的单位价值最高，所以一定有vg≥vav_g \ge v_avg≥va。用重为w的金属g替换最优解中重为w的金属，此时这些选择的金属包含贪心选择，价值不会比替换前减少，也是最优解，这与假设相悖，假设不成立，原命题得证。

2. 具体做法

将所有金属按单位价值vi/niv_i/n_ivi/ni降序排序，顺序遍历

如果该金属重量小于等于剩余可放重量，那么选择该金属的全部重量，统计其价值。
如果该金属重量大于剩余可放重量，那么选择该金属的重量为：剩余可放重量，统计这部分金属的价值。

输出选择的金属的总价值。

【题解代码】

解法1：贪心

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 105
struct Metal
{double n, v;
};
bool cmp(Metal a, Metal b)
{return a.v/a.n > b.v/b.n;
}
int main()
{int k, w, s;Metal m[N];cin >> k;while(k--){double totVal = 0;cin >> w >> s;for(int i = 1; i <= s; ++i)cin >> m[i].n >> m[i].v;sort(m+1, m+1+s, cmp);for(int i = 1; i <= s; ++i){if(w >= m[i].n)//w:剩余可放重量 {totVal += m[i].v;w -= m[i].n;}else{totVal += m[i].v/m[i].n*w;break;}}cout << fixed << setprecision(2) << totVal << endl;}return 0;
}

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1. 贪心选择性质的证明：

2. 具体做法

【题解代码】

解法1：贪心

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