城市规划理论II 通勤与移居

公共交通
- Beckmann连续交通模型
熵模型（Entropy Model）
Hotelling's Migration Model
- 基础模型
- 模型的修正

这其实不是按逻辑顺序的第二篇博文，但我突然对这个topic感兴趣就提前写了。通勤指的是短期的市内或者市际的人员流动，移居则是长期地更换居住地，二者都分别有其他领域也在研究，比如交通科学、公共经济学等，这篇博文主要就以城市规划的数学模型作为落脚点进行探讨。研究的目标是对两地间的人流进行建模，进而对两地间的交通设施规划建设起到指导作用。

公共交通

假设两个不同的地点分别用惯性系(x,y)(x,y)(x,y)与(ξ,η)(\xi,\eta)(ξ,η)表示，其人口密度分别为O(x,y)O(x,y)O(x,y)，D(ξ,η)D(\xi,\eta)D(ξ,η)，前者的O表示origin，后者的D表示destination。假设两地的欧式距离为
t(x,y,ξ,η)=(x−ξ)2+(y−η)2t(x,y,\xi,\eta) = \sqrt{(x-\xi)^2 + (y-\eta)^2} t(x,y,ξ,η)=(x−ξ)2+(y−η)2
早期关于从起点到终点的人员流动的法则是Zipf法则，或者称为重力法则，其直觉就是牛顿引力公式，认为两地人员交互与两地距离成反比，与两地人口密度成正比。起点到终点的人员流量可以表示为
I(x,y,ξ,η)=O(x,y)D(ξ,η)t(x,y,ξ,η)I(x,y,\xi,\eta) = \frac{O(x,y)D(\xi,\eta)}{t(x,y,\xi,\eta)} I(x,y,ξ,η)=t(x,y,ξ,η)O(x,y)D(ξ,η)
这个III指的是interaction。尽管这个公式看上去非常合理，但它其实是没有理论支撑的，只是一个直觉上的经验法则，并且缺乏一个具体的函数形式，因此需要对这个模型做更精细的推导。

Beckmann连续交通模型

先不考虑人口密度的影响，假设O(x,y)=D(ξ,η)=1O(x,y)=D(\xi,\eta)=1O(x,y)=D(ξ,η)=1。定义人口流场（flow field）为ϕ\phiϕ，则
I=−∇⋅ϕ=1tI = -\nabla \cdot \phi = \frac{1}{t} I=−∇⋅ϕ=t1
人口流场是一个矢量场，III看成是它的通量，因此它的散度就是人口流动。流场与距离函数之间还有一个关系
ϕ∣ϕ∣=∇t\frac{\phi}{|\phi|}=\nabla t ∣ϕ∣ϕ=∇t
这里的梯度都是在惯性系(x,y)(x,y)(x,y)中求，这个公式后续的博文会讲，这里先当成假设吧。考虑
∇⋅ϕ=∇∣ϕ∣⋅∇t+∣ϕ∣∇2t=d∣ϕ∣dt+∣ϕ∣t=−1t\nabla \cdot \phi = \nabla |\phi| \cdot \nabla t + |\phi| \nabla^2 t \\ = \frac{d |\phi|}{dt} + \frac{|\phi|}{t} = -\frac{1}{t} ∇⋅ϕ=∇∣ϕ∣⋅∇t+∣ϕ∣∇2t=dtd∣ϕ∣+t∣ϕ∣=−t1
这个推导用到了场论的结论，不熟悉的话可以再回顾一下向量微积分或者场论。显然这个式子是关于∣ϕ∣|\phi|∣ϕ∣的可分离变量型的一阶ODE，可以直接写出它的解是
∣ϕ∣=Tt−1|\phi| = \frac{T}{t} - 1 ∣ϕ∣=tT−1
这里的TTT是积分常数。考虑一下∣ϕ∣|\phi|∣ϕ∣的实际意义，它指的是从(ξ,η)(\xi,\eta)(ξ,η)出发的经过(x,y)(x,y)(x,y)的人口总流动量。定义i(x,y)i(x,y)i(x,y)为经过(x,y)(x,y)(x,y)的人口总流动量，则
i(x,y)=∬∣ϕ∣dξdη=∬(Tt−1)dξdηi(x,y) = \iint|\phi| d \xi d \eta = \iint (\frac{T}{t} - 1) d \xi d \eta i(x,y)=∬∣ϕ∣dξdη=∬(tT−1)dξdη
考虑两个惯性系之间的伽利略变换
ξ=x+tcos(θ)η=y+tsin(θ)\xi = x + tcos(\theta) \\ \eta = y + tsin(\theta) ξ=x+tcos(θ)η=y+tsin(θ)
根据积分换元公式，可以将上述积分换到极坐标(t,θ)(t,\theta)(t,θ)中，
i(x,y)=∬(Tt−1)dtdθi(x,y) = \iint (\frac{T}{t} - 1) d t d \theta i(x,y)=∬(tT−1)dtdθ
这个积分就可以用Fubini定理计算，得到
i(x,y)=2π(1−r2)r=x2+y2i(x,y) = 2 \pi (1-r^2) \\ r = \sqrt{x^2 + y^2} i(x,y)=2π(1−r2)r=x2+y2
这里指的交并不是指交通工具，它其实还是人的流动。早期的实证研究是认可这个模型的，但是这个理论只是对引力模型的细化，尽管有了一个人流的具体表达式，但还是缺乏理论支撑。科学家们从统计物理和经济学的角度分别造出了理论来解释人口流动，从统计物理的角度设计的模型叫熵模型，从经济学角度设计的模型是Hotelling模型。

熵模型（Entropy Model）

熵模型，或者说Alan Wilson模型，它的直觉来自于描述粒子分布的Boltzmann定理。Boltzmann定理说的是处在不同能级的粒子数服从Boltzmann分布
NiN∝e−Ei\frac{N_i}{N} \propto e^{-E_i} NNi∝e−Ei
其中指数函数的形式可以由薛定谔方程得到，也可以由最大熵原理来得到。人流在不同地点的分布可以类比粒子在不同能级的分布，Alan Wilson用的最大熵原理来得到的分布形式。假设始发站iii出发的人次用OiO_iOi表示，到达终点站jjj的人次用DiD_iDi表示，从OiO_iOi到DjD_jDj的旅行人次用TijT_{ij}Tij表示。假设TTT是旅行总人次，则
T=∑i∑jTij=∑iOi=∑jDjT = \sum_{i}\sum_{j} T_{ij} = \sum_{i} O_{i} = \sum_{j} D_j T=i∑j∑Tij=i∑Oi=j∑Dj
在给定了TijT_{ij}Tij之后，所有旅行人次的路线可以用多项式系数来表示，记为
E=(∑i∑jTij)!∑i∑jTij!E = \frac{(\sum_{i}\sum_{j} T_{ij})!}{\sum_{i}\sum_{j} T_{ij}!} E=∑i∑jTij!(∑i∑jTij)!
用Stirling公式将阶乘近似为指数，并对EEE取对数可以得到
log⁡E≈T(logT−1)−∑i∑jTij(logTij−1)=TlogT−∑i∑jTijlogTij=∑i∑jTij(logT−logTij)\log E \approx T(logT -1)- \sum_{i}\sum_{j} T_{ij} (log T_{ij}-1) \\ = TlogT - \sum_{i}\sum_{j} T_{ij} log T_{ij} \\ = \sum_{i}\sum_{j} T_{ij} (logT - log T_{ij} ) logE≈T(logT−1)−i∑j∑Tij(logTij−1)=TlogT−i∑j∑TijlogTij=i∑j∑Tij(logT−logTij)
定义这个人口流动系统的熵为
H=logET=−∑i∑jTijTlog(TijT)H = \frac{logE}{T} = - \sum_{i}\sum_{j} \frac{T_{ij}}{T} log(\frac{T_{ij}}{T}) H=TlogE=−i∑j∑TTijlog(TTij)
根据熵增原理，系统的熵总是倾向于增大的，当这个人口流动系统均衡时，系统的熵应该取最大值。在没有其他约束的时候，最大化熵总是会得到均匀分布，为了让这个模型更符合实际，引入交通成本约束，用cijc_{ij}cij表示从iii到jjj的交通成本，则
∑i∑jcijTij=T\sum_{i}\sum_{j} c_{ij} T_{ij} = T i∑j∑cijTij=T
再假设OiO_iOi与DjD_jDj是已知量，则这个最大熵问题就有了三个约束。在这种线性约束下，最大熵的结果必定是指数形式的。这个最优化问题无法找到解析解，可以用IIS（improved-iterative scaling）算法求解，参考Della Pietra et al （1997），之后写信息论的博文的时候再介绍这个算法。

Hotelling’s Migration Model

Hotelling是著名的统计学家、经济学家，他著名的成果包括多元统计的Hotelling T统计量，canonical 相关性分析，产业组织的Hotelling竞争模型等。

基础模型

基础模型由两部分构成，第一部分是人口在随时间的非线性增长，第二部分是人口在二维空间的线性扩散。假设人口增长服从Malthus模型
dpdt=γ(s−p)p\frac{dp}{dt} = \gamma (s-p)p dtdp=γ(s−p)p
其中sss是平稳状态的人口。这个是比较简单的可分离变量型的ODE，其解为
p=s1+ce−γtp=\frac{s}{1+ce^{-\gamma t}} p=1+ce−γts
ccc是积分常数。在Malthus模型中加入扩散项，模型可以扩展为
dpdt=γ(s−p)p+δΔp\frac{dp}{dt} = \gamma (s-p)p + \delta \Delta p dtdp=γ(s−p)p+δΔp
其中Δ=∇⋅∇\Delta=\nabla \cdot \nablaΔ=∇⋅∇是Laplace算子，Δp=0\Delta p=0Δp=0是典型的扩散方程。假设δ\deltaδ是人口扩散系数。从而空间中人口的增长与流动可以用这个PDE表示。

模型的修正

PDE中sss的含义是人口增长的极限，它在基础模型中被假设是一个常数，但事实上sss具有再生产性。假设sss是人口ppp的函数，则PDE可以被修正为
dpdt=γ(s(p)−p)p+δΔp\frac{dp}{dt} = \gamma (s(p)-p)p + \delta \Delta p dtdp=γ(s(p)−p)p+δΔp

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