UA PHYS515A 电磁理论II 静电学问题的一个例子

例
假设有一个中空球形导体，中空部分也是一个球形，半径为aaa，球心与导体相同，导体半径为bbb；球心处有一个+q+q+q的点电荷，距离圆心ddd处的位置有一个+2q+2q+2q的点电荷，d>bd>bd>b，计算空间中的电场。

解
这个中空球形导体形成一个电磁屏障，内外电场互不影响；先考虑内部的电场，用rrr表示测试电荷到球心的距离，当r<ar<ar<a时，根据高斯定理，
∮SE⃗⋅n^dS=4πq4πr2E=4πqE=qr2\oint_S \vec E \cdot \hat n dS = 4 \pi q \\ 4 \pi r^2 E = 4 \pi q \\ E = \frac{q}{r^2}∮SE⋅n^dS=4πq4πr2E=4πqE=r2q

这里EEE的方向应该与r^\hat rr^相同，即由球心向各个方向发散，
E⃗=qr2r^\vec E = \frac{q}{r^2} \hat rE=r2qr^

当a<r<ba<r <ba<r<b时，导体的inner surface上有−q-q−q的导出电荷，于是Gauss surface包围的净电荷量为0，所以导体内部电场为0；因为导体外部有+2q+2q+2q的点电荷，如果不存在这个电点电荷，那么导体外表面电荷量为+q+q+q，并且会均匀分布在外表面，但在导体外部存在点电荷的情况下，更靠近点电荷的外表面会出现负的引致电荷，而正电荷会集中到远离点电荷的外表面；根据这些分析，要直接求解比较困难，于是我们引入一个image charge，它与+2q+2q+2q、球心共线，且位于导体内部，假设电荷量为q′q'q′，距离球心的距离为r′r'r′，它在边界上(r=b−r=b^-r=b−)可以抵消外部+2q+2q+2q点电荷的效果，则
2qd−b+q′b−r′=02qd+b+q′r′+b=0\frac{2q}{d-b}+\frac{q'}{b-r'}=0 \\ \frac{2q}{d+b}+\frac{q'}{r'+b}=0d−b2q+b−r′q′=0d+b2q+r′+bq′=0

所以
q′=−2bqd,r′=b2dq'=-\frac{2bq}{d},r'=\frac{b^2}{d}q′=−d2bq,r′=db2

于是外表面的总引致电荷量为（2q−(q−q′)2q-(q-q')2q−(q−q′)）
Q=q(1+2bd)Q=q(1+\frac{2b}{d})Q=q(1+d2b)

有了这个值我们就可以计算外表面的电势了：
Φ(b)=Qb\Phi(b)=\frac{Q}{b}Φ(b)=bQ

事实上Φ(a)=Φ(b)\Phi(a)=\Phi(b)Φ(a)=Φ(b)，因为导体内部没有电场，所以内外表面的电势相同，基于这个结果，我们可以假设导体内部中空区域电势为
Φ(r)=Φ(0)+qrΦ(a)=Φ(0)+qr=qb(1+2bd)⇒Φ(0)=qb(1+2bd)−qa\Phi(r)=\Phi(0)+\frac{q}{r} \\ \Phi(a)=\Phi(0)+\frac{q}{r} = \frac{q}{b}(1+\frac{2b}{d}) \\ \Rightarrow \Phi(0)=\frac{q}{b}(1+\frac{2b}{d})-\frac{q}{a}Φ(r)=Φ(0)+rqΦ(a)=Φ(0)+rq=bq(1+d2b)⇒Φ(0)=bq(1+d2b)−aq

最后我们来计算导体外部的电势，假设测试电荷距离球心rrr，r>br>br>b，并且与+2q+2q+2q的位置所成夹角为θ\thetaθ，则
Φ(r,θ)=2qr2+d2−2rdcos⁡θ+q(1+2bd)r−2bdqr2+b4/d2−2rb2/dcos⁡θ\Phi(r,\theta)=\frac{2q}{\sqrt{r^2+d^2-2rd\cos \theta}}+\frac{q(1+\frac{2b}{d})}{r} \\ -\frac{\frac{2b}{d}q}{\sqrt{r^2+b^4/d^2-2rb^2/d \cos \theta}}Φ(r,θ)=r2+d2−2rdcosθ2q+rq(1+d2b)−r2+b4/d2−2rb2/dcosθd2bq

第一项是+2q+2q+2q的效应，第二项是导体外表面引致电荷QQQ的效应，第三项是导体内部image charge的效应。我们可以利用电势计算导体表面的电荷密度：
σ=−14π∂Φ∂n=−14π∂Φ∂r∣r=b\sigma= -\frac{1}{4 \pi} \frac{ \partial \Phi}{\partial n}=-\frac{1}{4 \pi }\frac{\partial \Phi}{\partial r}|_{r = b}σ=−4π1∂n∂Φ=−4π1∂r∂Φ∣r=b

最后我们还可以计算+2q+2q+2q与+q+q+q受到的力，+2q+2q+2q受力是与QQQ的排斥力和与image charge的引力；根据牛顿第三定律可以得到+q+q+q的受力。

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