UA PHYS515 电磁理论II 静电场问题6 正交函数系简介

完备标准正交函数系
常用的正交系
- 正交系与Laplace方程

完备标准正交函数系

Poisson方程的解可以用正交函数系表示，在不同的坐标系下需要不同的正交函数系表示，这一讲我们介绍一些常用的正交函数系，下一讲开始会介绍一些用正交函数系求解静电学问题的例子。

对于函数系{Un}n≥0\{U_n\}_{n \ge 0}{Un}n≥0，如果
∫abUn∗(ξ)Um(ξ)dξ=δnm\int_a^b U_n^*(\xi)U_m(\xi)d\xi = \delta_{nm}∫abUn∗(ξ)Um(ξ)dξ=δnm

就称这个函数系Orthonomal，这里的δnm\delta_{nm}δnm是Kronecker符号。如果对于[a,b][a,b][a,b]上的任意函数f(ξ)f(\xi)f(ξ)，
f(ξ)=∑anUn(ξ)f(\xi) = \sum a_n U_n(\xi)f(ξ)=∑anUn(ξ)

使得∀ϵ>0\forall \epsilon>0∀ϵ>0, ∃N\exists N∃N，∣f(ξ)−∑n=1NanUn(ξ)∣<ϵ|f(\xi)-\sum_{n=1}^N a_nU_n(\xi)| < \epsilon∣f(ξ)−n=1∑NanUn(ξ)∣<ϵ

就称{Un}n≥0\{U_n\}_{n \ge 0}{Un}n≥0是完备的。我们需要的是完备的标准正交函数系。

常用的正交系

坐标系	正交系
直角坐标系(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)	Fourier: eik⃗⋅r⃗e^{i\vec k \cdot \vec r}eik⋅r或e−ik⃗⋅r⃗e^{-i\vec k \cdot \vec r}e−ik⋅r
球坐标系(r,θ,ϕ)(r,\theta,\phi)(r,θ,ϕ)	球谐函数：Y(θ,ϕ)\mathcal{Y}(\theta,\phi)Y(θ,ϕ)
柱坐标系(η,ϕ,z)(\eta,\phi,z)(η,ϕ,z)	Bessel函数：JνJ_{\nu}Jν

当球坐标系下的解与经角ϕ\phiϕ无关时，球谐函数（spherical harmonics）退化为Legendre多项式。

正交系与Laplace方程

考虑无source时电势满足的Laplace方程：
∇2Φ=0\nabla^2 \Phi = 0∇2Φ=0

直角坐标系
在直角坐标系中，如果可分离变量，则
Φ(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)\Phi(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)Φ(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)

于是
∇2Φ=∂2XYZ∂x2+∂2XYZ∂y2+∂2XYZ∂z2=∂2X∂x2YZ+∂2Y∂y2XZ+∂2Z∂z2XY=0⇒X′′X+Y′′Y+Z′′Z=0\nabla^2 \Phi = \frac{\partial^2 XYZ}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 XYZ}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2 XYZ}{\partial z^2} \\ = \frac{\partial^2 X}{\partial x^2}YZ+\frac{\partial^2 Y}{\partial y^2}XZ+\frac{\partial^2 Z}{\partial z^2}XY = 0 \\ \Rightarrow \frac{X''}{X}+\frac{Y''}{Y}+\frac{Z''}{Z}=0∇2Φ=∂x2∂2XYZ+∂y2∂2XYZ+∂z2∂2XYZ=∂x2∂2XYZ+∂y2∂2YXZ+∂z2∂2ZXY=0⇒XX′′+YY′′+ZZ′′=0

不妨引入比例常数α\alphaα，使得
−X′′X=Y′′Y+Z′′Z=α-\frac{X''}{X}=\frac{Y''}{Y}+\frac{Z''}{Z}=\alpha−XX′′=YY′′+ZZ′′=α

从而X′′+α2X=0X''+\alpha^2X=0X′′+α2X=0，它的解系为{eiαx,e−iαx}\{e^{i\alpha x},e^{-i\alpha x}\}{eiαx,e−iαx}；然后我们再引入一个比例常数β\betaβ，使得
−Y′′Y+α2=Z′′Z=α2+β2-\frac{Y''}{Y}+\alpha^2=\frac{Z''}{Z}=\alpha^2+\beta^2−YY′′+α2=ZZ′′=α2+β2

可以被拆分为
Y′′+β2Y=0Z′′−(α2+β2)Z=0Y''+\beta^2 Y = 0 \\ Z'' - (\alpha^2+\beta^2)Z=0Y′′+β2Y=0Z′′−(α2+β2)Z=0

所以YYY的解系为{e±iβy}\{e^{\pm i\beta y}\}{e±iβy}，ZZZ的解系为{e±α2+β2z}\{e^{\pm \sqrt{\alpha^2+\beta^2}z}\}{e±α2+β2z}，三个解系的积就是Laplace方程的解，虚数部分表示正弦波动，实数部分表示电势随距离的衰减。综上，Laplace方程的通解可以写成
Φ(x,y,z)=∑m,nanme±iαnxe±iβmye±α2+β2z\Phi(x,y,z)=\sum_{m,n}a_{nm}e^{\pm i \alpha_n x}e^{\pm i \beta_m y}e^{\pm \sqrt{\alpha^2+\beta^2}z}Φ(x,y,z)=m,n∑anme±iαnxe±iβmye±α2+β2z

需要注意的是正交函数系方法具有一般性，不管实验设定如何复杂都可以用，但要得到精确的结果就必须要计算更多系数，用更多项来近似，所以需要在精度与计算量之间做权衡；对于对称性比较高的问题，这里面系数不为0的项一般只有几个，这种时候用其他方法其实是更简便的。