算法导论之有关数论的算法

关于数论，想到的就是密码系统和大素数。大素数的易求和因子分解的高难度是密码系统安全性的数学基础。输入一个大的整数，用位操作次数来衡量数论算法的时间性能。

1）初等数论概念

关于整数集合Z={…,-2,-1,0,1,2,…}和自然数集合N={0,1,2,…}的初等数论概念。

第一：整数性和约数

一个整数能被另一个整数整除，记号为d|a（d整除a），意味着对某个整数k，有a=kd。如果d|a且d≥0，则说d是a的约数。

对每个整数a来说，1和a是其平凡约数，而a的非平凡约数称为a的因子。

第二：素数和合数

对于某个整数a＞1，如果它仅有平凡约数1和a，则称a为素数或质数，素数有无穷多个。

不是素数的整数a＞1称为合数。当然整数0和所有负整数既不是素数也不是合数。

第三：余数和模

对任意整数a和任意正整数n，存在唯一的整数q和r，满足0≤r＜n，并且a=qn+r；其中q就是除法的商，r就是除法的余数。r=a mod n。

第四：公约数和最大公约数

如果d是a的约数并且也是b的约数，则d是a和b的公约数。两个不同时为0的整数a和b的最大公约数表示为gcd(a,b)。对任意整数x和y，有：

d|a并且d|b蕴含着d|(ax+by)

如果a和b是都不为0的任意整数，则gcd(a,b)是a与b的线性组合集合{ax+by:x,y∈Z}中的最小正元素。

对任意整数a和b，如果d|a并且d|b，则d|gcd(a,b)。

对所有整数a和b以及任意非负整数n，gcd(an,bn)=ngcd(a,b)。

对所有正整数n,a和b，如果n|ab并且gcd(a,n)=1，则n|b。

第五：互质数

如果两个整数a和b仅有公因数1，即如果gcd(a,b)=1，则a和b称为互质数。

对任意整数a,b和p，如果gcd(a,p)=1且gcd(b,p)=1，则gcd(ab,p)=1。

第六：唯一因子分解

这是素数整除性的一个重要基础。

对所有素数p和所有整数a,b，如果p|ab，则p|a或p|b或者都成立。由此可得唯一质因子分解定理。

合数a仅能以一种方式，写成如下的乘积形式：

其中p_i为素数，p₁<p₂<…<p_r，且e_i为正整数。

如数6000可以唯一分解为2⁴*3*5³

2）最大公约数

计算两个整数的最大公约数是数论的基础算法，运用欧几里得算法可有效计算，其运行时间和斐波那契数存在联系。

一般情况下，最大公约数的求解，可以通过素数因子分解来完成。假设正整数a和b的最大公约数gcd(a,b)：

如果r项不足则使用零指数，使素数结合p₁,p₂,…,p_r对于a和b是相同的，容易得出：

然而素数分解因子的算法是在多项式时间内无法完成的。因此需要通过欧几里得算法来有效求解。

欧几理得求解最大公约数的算法，基于GCD的一个递归原理：对任意非负整数a和任意正整数b，有

gcd(a,b)=gcd(b,amod b)

通过递归程序来实现欧几理得的算法（约公元前300年的几何原本中描述的）：

Func_Euclid(a,b){

if b=0

then return a

else return Func_Euclid(b,a mod b)

}

欧几里得算法的运行时间和斐波那契数有关联。

如果a＞b≥1并且Func_Euclid(a,b)执行了k≥1次递归调用，则a≥F_k+2，b≥F_k+1。

对任意整数k≥1，如果a＞b≥1并且b＜F_k+1，则Func_Euclid(a,b)递归调用次数少于k次。

推广欧几理得算法，求解下列方程式的x和y：

d=gcd(a,b)=ax+by

先看函数：

Func_Extend_Euclid(a,b){

if b=0

then return ( a,1,0)

(d’,x’,y’)= Func_Extend_Euclid(b,a mod b)

(d,x,y)=(d’,y’,x’-(a/b)y’)

return (d,x,y)

}

其中y= x’-(a/b)y’是扩展算法的关键，递归到最底层时，x=1，y=0，是基础解。

欧几理得算法及其推广形式中很重要的是a mod b的模运算。

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