UA PHYS515 电磁理论II 静电场问题2 电荷与静电场的几何: Green函数法的物理背景

单个电荷形成的静电场
Green函数的一些数学结果
- Green恒等式与Green定理
- Green定理在Green函数法中的应用

上一讲我们介绍了两个靠割补法、猜答案搞出来的例子，猜答案这种方法可以抽象为Green函数法，从而得到在物理学中处理场相关问题的一般性方法。这一讲我们先介绍一些Green函数法的物理直觉。

从最简单的库仑定律开始，真空中电荷产生的静电势为
Φ=−qr\Phi = -\frac{q}{r}Φ=−rq

其中qqq代表charge，或者说静电场的source；rrr代表静电场的geometry，在各种各样的静电场问题中，我们需要做的总是把source的作用传递到场覆盖的几何对象上，Green函数就是一种处理场的geometry的工具，下面我们用一个例子说明在评估静电场的过程中，source与geometry的contribution是可以分离的。

单个电荷形成的静电场

根据库仑定律，在r⃗0\vec r_0r0处电荷量为qqq的正电荷形成的电场静电势为
Φ(r⃗)=−q∣r⃗−r⃗0∣\Phi(\vec r) = -\frac{q}{|\vec r-\vec r_0|}Φ(r)=−∣r−r0∣q

电场为
E⃗(r⃗)=−∇Φ(r⃗)=q(r⃗−r⃗0)∣r⃗−r⃗0∣3\vec E(\vec r) = -\nabla \Phi(\vec r) =\frac{q(\vec r-\vec r_0)}{|\vec r-\vec r_0|^3}E(r)=−∇Φ(r)=∣r−r0∣3q(r−r0)

如果换成用电荷密度ρ(r⃗)\rho(\vec r)ρ(r)来计算，我们就需要体积分了
Φ(r⃗)=∫Vρ(r⃗)dxdydz∣r⃗−r⃗0∣\Phi(\vec r)=\int_V \frac{\rho(\vec r)dxdydz}{|\vec r-\vec r_0|}Φ(r)=∫V∣r−r0∣ρ(r)dxdydz

在上一部分我们讨论过，单个电荷的电荷密度可以用Dirac函数表示，所以这两种关于静电势的关系是等价的，因此我们可以认为库仑定律提供了Poisson方程的一种积分解，下面在数学上验证这一点，计算
∇2Φ=∇2∫Vρ(r⃗)dxdydz∣r⃗−r⃗0∣=∫Vρ(r⃗)∇21∣r⃗−r⃗0∣dxdydz\nabla^2 \Phi = \nabla^2 \int_V \frac{\rho(\vec r)dxdydz}{|\vec r-\vec r_0|} = \int_V \rho(\vec r) \nabla^2 \frac{1}{|\vec r-\vec r_0|}dxdydz∇2Φ=∇2∫V∣r−r0∣ρ(r)dxdydz=∫Vρ(r)∇2∣r−r0∣1dxdydz

引理
∇21∣r⃗−r⃗0∣=−4πδ3(r⃗−r⃗0)\nabla^2 \frac{1}{|\vec r-\vec r_0|}=-4\pi \delta^3(\vec r-\vec r_0)∇2∣r−r0∣1=−4πδ3(r−r0)

分析
如果这个引理正确，那么
∇2Φ=−4π∫Vρ(r⃗)δ3(r⃗−r⃗0)dxdydz=−4πρ(r⃗)\nabla^2 \Phi=-4\pi\int_V \rho(\vec r)\delta^3(\vec r-\vec r_0)dxdydz=-4\pi \rho(\vec{r})∇2Φ=−4π∫Vρ(r)δ3(r−r0)dxdydz=−4πρ(r)

也就是说积分形式的势能表达式确实是Poisson方程的解。下面我们来证明一下这个引理：

如果我们直接计算这个Laplace算子，那么
∇21∣r⃗−r⃗0∣=(∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2)1(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=3[(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2]3/2−3[(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2]3/2={0,r⃗≠r⃗000,r⃗=r⃗0\nabla^2 \frac{1}{|\vec r-\vec r_0|} = (\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2})\frac{1}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}} \\ = \frac{3}{[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2]^{3/2}}-\frac{3}{[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2]^{3/2}} \\ = \begin{cases} 0, \vec r \ne \vec r_0 \\ \frac{0}{0}, \vec r = \vec r_0\end{cases}∇2∣r−r0∣1=(∂x2∂2+∂y2∂2+∂z2∂2)(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)21=[(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2]3/23−[(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2]3/23={0,r=r000,r=r0

当r⃗≠r⃗0\vec r \ne \vec r_0r=r0时，这个结果是符合我们预期的，因为通过没有包含charge的区域的electric flux等于0；但当r⃗=r⃗0\vec r = \vec r_0r=r0时，这个结果是一个不定型，尽管数学上我们可以接受这个结果，并能做进一步分析，但是在电场中它没有实际意义。于是我们可以把积分形式的电势的Laplace算子做一些定义上的修正，引入一个辅助极限进行计算：
∇2Φ=∫Vρ(r⃗)∇2lim⁡a→01∣r⃗−r⃗0∣2+a2dxdydz\nabla^2 \Phi=\int_V \rho(\vec r) \nabla^2 \lim_{a \to 0} \frac{1}{\sqrt{|\vec r - \vec r_0|^2+a^2}}dxdydz∇2Φ=∫Vρ(r)∇2a→0lim∣r−r0∣2+a21dxdydz

我们可以把修正之前的式子写在这里做一个对比：
∇2Φ=∫Vρ(r⃗)∇21∣r⃗−r⃗0∣2dxdydz\nabla^2 \Phi=\int_V \rho(\vec r) \nabla^2 \frac{1}{\sqrt{|\vec r - \vec r_0|^2}}dxdydz∇2Φ=∫Vρ(r)∇2∣r−r0∣21dxdydz

上面那个式子引入的极限表示我们通过一系列形状不定但包围r⃗,r⃗0\vec r,\vec r_0r,r0的环路逼近∣r⃗−r⃗0∣2|\vec r - \vec r_0|^2∣r−r0∣2的contour，并以此来计算单电荷电势的Laplace算子。这两个式子在数学上都是正确的，但是下面的式子不一定物理意义。现在我们基于上面的式子进行计算：
∫Vρ(r⃗)∇2lim⁡a→01∣r⃗−r⃗0∣2+a2dxdydz=lim⁡a→0∫Vρ(r⃗)∇21∣r⃗−r⃗0∣2+a2dxdydz=4πlim⁡a→0∫0∞ρ(r)∇21r2+a2dr=−4πlim⁡a→0∫0∞ρ(r)−3a2r2dr(r2+a2)5/2\int_V \rho(\vec r) \nabla^2 \lim_{a \to 0} \frac{1}{\sqrt{|\vec r - \vec r_0|^2+a^2}}dxdydz \\ = \lim_{a \to 0}\int_V \rho(\vec r)\nabla^2 \frac{1}{\sqrt{|\vec r - \vec r_0|^2+a^2}}dxdydz \\ =4\pi \lim_{a \to 0}\int_0^{\infty} \rho( r)\nabla^2 \frac{1}{\sqrt{r^2+a^2}}dr \\ = -4\pi \lim_{a \to 0}\int_0^{\infty}\rho(r) \frac{-3a^2r^2dr}{(r^2+a^2)^{5/2}}∫Vρ(r)∇2a→0lim∣r−r0∣2+a21dxdydz=a→0lim∫Vρ(r)∇2∣r−r0∣2+a21dxdydz=4πa→0lim∫0∞ρ(r)∇2r2+a21dr=−4πa→0lim∫0∞ρ(r)(r2+a2)5/2−3a2r2dr

其中第三个等式是直角坐标系中的积分换成球坐标系中的积分，其中
ρ(r⃗)=qδ3(r⃗−r⃗0)=qδ(r),r=∣r⃗−r⃗0∣\rho(\vec r) = q\delta^3(\vec r - \vec r_0)=q\delta(r), r = |\vec r - \vec r_0|ρ(r)=qδ3(r−r0)=qδ(r),r=∣r−r0∣

第四个等式就是计算1r2+a2\frac{1}{\sqrt{r^2+a^2}}r2+a21的二阶导，于是
−4πlim⁡a→0∫0∞ρ(r)−3a2r2dr(r2+a2)5/2=−4πlim⁡a→0∫0∞qδ(r)−3a2r2dr(r2+a2)5/2=−4πρ(r⃗)-4\pi \lim_{a \to 0}\int_0^{\infty}\rho(r) \frac{-3a^2r^2dr}{(r^2+a^2)^{5/2}} \\ = -4\pi \lim_{a \to 0}\int_0^{\infty}q\delta(r)\frac{-3a^2r^2dr}{(r^2+a^2)^{5/2}}=-4\pi \rho(\vec r)−4πa→0lim∫0∞ρ(r)(r2+a2)5/2−3a2r2dr=−4πa→0lim∫0∞qδ(r)(r2+a2)5/2−3a2r2dr=−4πρ(r)

这样就验证了积分形式的电势是Poisson方程的解，并且在推导中我们发现
∇21∣r⃗−r⃗0∣=−4πδ3(r⃗−r⃗0)\nabla^2 \frac{1}{|\vec r-\vec r_0|}=-4\pi \delta^3(\vec r-\vec r_0)∇2∣r−r0∣1=−4πδ3(r−r0)

在电势的Laplace算子的计算中：
∇2Φ=∫Vρ(r⃗)∇21∣r⃗−r⃗0∣2dxdydz\nabla^2 \Phi=\int_V \rho(\vec r) \nabla^2 \frac{1}{\sqrt{|\vec r - \vec r_0|^2}}dxdydz∇2Φ=∫Vρ(r)∇2∣r−r0∣21dxdydz

ρ(r⃗)\rho(\vec r)ρ(r)代表charge的贡献，∇21∣r⃗−r⃗0∣2\nabla^2 \frac{1}{\sqrt{|\vec r - \vec r_0|^2}}∇2∣r−r0∣21代表静电场的几何效应，我们发现这个结果事实上与电荷量qqq成正比的，这就说明在点电荷形成的静电场中，电荷量只是决定电场的强度，而电荷与空间的几何关系则决定了电场的形状，因此我们总是可以单独讨论场的几何形态。

Green函数的一些数学结果

现在我们对上面的例子做一般化处理，引入Green函数G(r⃗,r⃗0)G(\vec r,\vec r_0)G(r,r0)描述电场的几何，则上面的例子中：
Φ(r⃗)=∫Vρ(r⃗)dxdydz∣r⃗−r⃗0∣=∫Vρ(r⃗)G(r⃗,r⃗0)dxdydzG(r⃗,r⃗0)=1∣r⃗−r⃗0∣\Phi(\vec r)=\int_V \frac{\rho(\vec r)dxdydz}{|\vec r-\vec r_0|}=\int_V \rho(\vec r)G(\vec r,\vec r_0)dxdydz \\ G(\vec r, \vec r_0)=\frac{1}{|\vec r-\vec r_0|}Φ(r)=∫V∣r−r0∣ρ(r)dxdydz=∫Vρ(r)G(r,r0)dxdydzG(r,r0)=∣r−r0∣1

对于一般情况，我们总是可以用积分形式写出势能的解
Φ(r⃗)=∫Vρ(r⃗′)G(r⃗,r⃗′)dx′dy′dz′\Phi(\vec r) = \int_V \rho(\vec r')G(\vec r,\vec r')dx'dy'dz'Φ(r)=∫Vρ(r′)G(r,r′)dx′dy′dz′

因此在不同问题中，我们需要找的最关键的东西就是Green函数。

Green恒等式与Green定理

回顾叠加原理(superposition principle)：电场因为不携带source，所以不会出现高阶或者交互效应，因此电场与电场是可以线性叠加的，基于这个原理我们知道电势能一定是ρ(r⃗′)G(r⃗,r⃗′)\rho(\vec r')G(\vec r, \vec r')ρ(r′)G(r,r′)的积分的某种线性组合。假设a⃗\vec aa是一个矢量场，回顾高斯散度定理：
∫V∇⋅a⃗dxdydz=∮S(V)a⃗⋅n^dS\int_V \nabla \cdot \vec a dxdydz = \oint_{S(V)}\vec a \cdot \hat ndS∫V∇⋅adxdydz=∮S(V)a⋅n^dS

其中n^\hat nn^表示曲面S(V)S(V)S(V)的外法线方向。我们假设矢量场a⃗\vec aa可以用两个标量场表示：a⃗=b∇d\vec a = b \nabla da=b∇d，于是
∇⋅a⃗=∇⋅(b∇d)=b∇2d+∇b⋅∇da⃗⋅n^=(b∇d)⋅n^=b∂d∂n\nabla \cdot \vec a = \nabla \cdot (b \nabla d) = b \nabla^2 d+\nabla b \cdot \nabla d \\ \vec a \cdot \hat n = (b \nabla d) \cdot \hat n = b \frac{\partial d}{\partial n}∇⋅a=∇⋅(b∇d)=b∇2d+∇b⋅∇da⋅n^=(b∇d)⋅n^=b∂n∂d

代入到高斯散度定理中，我们就得到了Green‘s First Identity：
∫V(b∇2d+∇b⋅∇d)dxdydz=∮S(V)b∂d∂ndS\int_V ( b \nabla^2 d+\nabla b \cdot \nabla d)dxdydz=\oint_{S(V)} b \frac{\partial d}{\partial n}dS∫V(b∇2d+∇b⋅∇d)dxdydz=∮S(V)b∂n∂ddS

这个恒等式并不实用，因为我们并不想尝试去计算∇b⋅∇d\nabla b\cdot \nabla d∇b⋅∇d，一种消掉这一项的做法是在Green’s First Idensity中交换b,db,db,d的位置，
∫V(d∇2b+∇d⋅∇b)dxdydz=∮S(V)d∂b∂ndS\int_V ( d \nabla^2 b+\nabla d \cdot \nabla b)dxdydz=\oint_{S(V)} d \frac{\partial b}{\partial n}dS∫V(d∇2b+∇d⋅∇b)dxdydz=∮S(V)d∂n∂bdS

两个等式相减：
∫V(b∇2d−d∇2b)dxdydz=∮S(V)(b∂d∂n−d∂b∂n)dS\int_V (b \nabla^2 d-d\nabla^2 b)dxdydz=\oint_{S(V)}( b \frac{\partial d}{\partial n}-d \frac{\partial b}{\partial n})dS∫V(b∇2d−d∇2b)dxdydz=∮S(V)(b∂n∂d−d∂n∂b)dS

这就是著名的Green定理。

Green定理在Green函数法中的应用

我们将标量场bbb替换为电势能Φ(r⃗)\Phi(\vec r)Φ(r)，将标量场ddd替换为Green函数G(r⃗,r⃗′)G(\vec r,\vec r')G(r,r′)，根据Green定理，
∫V(Φ∇2G−G∇2Φ)dxdydz=∮S(V)(Φ∂G∂n−G∂Φ∂n)dS\int_V (\Phi \nabla^2 G-G\nabla^2 \Phi)dxdydz = \oint_{S(V)}(\Phi \frac{\partial G}{\partial n}-G \frac{\partial \Phi}{\partial n})dS∫V(Φ∇2G−G∇2Φ)dxdydz=∮S(V)(Φ∂n∂G−G∂n∂Φ)dS

在单电荷的例子中，
G(r⃗,r⃗′)=1∣r⃗−r⃗′∣G(\vec r,\vec r')=\frac{1}{|\vec r - \vec r'|}G(r,r′)=∣r−r′∣1

因此
∇2G(r⃗,r⃗′)=−4πδ3(r⃗−r⃗′)\nabla^2 G(\vec r, \vec r')=-4\pi \delta^3(\vec r - \vec r')∇2G(r,r′)=−4πδ3(r−r′)

另外，根据Poisson方程，
∇2Φ=−4πρ\nabla^2 \Phi = -4\pi \rho∇2Φ=−4πρ

所以
∫V(−4πδ3(r⃗−r⃗′)Φ+4πρ∣r⃗−r⃗′∣)dx′dy′dz′=∮S(V)(Φ∂∂n1∣r⃗−r⃗′∣−1∣r⃗−r⃗′∣∂Φ∂n)dS′\int_V(-4\pi \delta^3(\vec r- \vec r')\Phi+\frac{4\pi \rho}{|\vec r - \vec r '|})dx'dy'dz' \\ = \oint_{S(V)}(\Phi \frac{\partial }{\partial n}\frac{1}{|\vec r - \vec r'|}-\frac{1}{|\vec r - \vec r '|}\frac{\partial \Phi}{\partial n})dS'∫V(−4πδ3(r−r′)Φ+∣r−r′∣4πρ)dx′dy′dz′=∮S(V)(Φ∂n∂∣r−r′∣1−∣r−r′∣1∂n∂Φ)dS′

这里所有的带‘的位置都表示有source的位置，不带’的位置都表示观察者的位置。如果没有边界，等式右边为0，于是上式等于
Φ(r⃗)=∫Vρ(r⃗′)∣r⃗−r⃗′∣dx′dy′dz′\Phi(\vec r)=\int_V \frac{\rho(\vec r')}{|\vec r - \vec r'|}dx'dy'dz'Φ(r)=∫V∣r−r′∣ρ(r′)dx′dy′dz′

这就是前文中我们讨论的电势能的积分解；如果存在边界条件，那么
Φ(r⃗)=∫Vρ(r⃗′)∣r⃗−r⃗′∣dx′dy′dz′+14π∮S(V)(Φ∂∂n1∣r⃗−r⃗′∣−1∣r⃗−r⃗′∣∂Φ∂n)dS′\Phi(\vec r) = \int_V \frac{\rho(\vec r')}{|\vec r - \vec r'|}dx'dy'dz' \\ +\frac{1}{4\pi}\oint_{S(V)}(\Phi \frac{\partial }{\partial n}\frac{1}{|\vec r - \vec r'|}-\frac{1}{|\vec r - \vec r '|}\frac{\partial \Phi}{\partial n})dS'Φ(r)=∫V∣r−r′∣ρ(r′)dx′dy′dz′+4π1∮S(V)(Φ∂n∂∣r−r′∣1−∣r−r′∣1∂n∂Φ)dS′

这个式子实际上也是很难应用的，因为在实际条件中，我们要么知道电势能，要么知道边界上的电场，同时知道两个条件的情况比较少，下一讲我们讨论一些比较常用的边界条件。