UA OPTI570 量子力学4 带不含时的标量势的粒子的薛定谔方程

分离变量法
稳定态

之前提到波函数的形式由Schroedinger方程给出：iℏ∂∂tψ(r,t)=−ℏ22mΔψ(r,t)+V(r,t)ψ(r,t)i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\psi(\textbf r,t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta \psi(\textbf r,t)+V(\textbf r,t)\psi(\textbf r,t)iℏ∂t∂ψ(r,t)=−2mℏ2Δψ(r,t)+V(r,t)ψ(r,t)

上一讲讨论了V(r,t)=0V(\textbf r,t)=0V(r,t)=0的薛定谔方程，这一讲稍微增加一点条件，假设有势能，但势能不随时间变化，即V(r,t)=V(r)V(\textbf r,t)=V(\textbf r)V(r,t)=V(r)

分离变量法

讨论Schroedinger方程
iℏ∂∂tψ(r,t)=−ℏ22mΔψ(r,t)+V(r)ψ(r,t)i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\psi(\textbf r,t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta \psi(\textbf r,t)+V(\textbf r)\psi(\textbf r,t)iℏ∂t∂ψ(r,t)=−2mℏ2Δψ(r,t)+V(r)ψ(r,t)

用分离变量法，假设ψ(r,t)=ϕ(r)χ(t)\psi(\textbf r,t)=\phi(\textbf r)\chi(t)ψ(r,t)=ϕ(r)χ(t)，代入薛定谔方程可得
iℏϕ(r)ddtχ(t)=−ℏ22mχ(t)Δϕ(r)+V(r)ϕ(r)χ(t)i\hbar \phi(\textbf r) \frac{d }{d t}\chi(t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\chi(t)\Delta \phi(\textbf r)+V(\textbf r)\phi(\textbf r)\chi(t)iℏϕ(r)dtdχ(t)=−2mℏ2χ(t)Δϕ(r)+V(r)ϕ(r)χ(t)

方程两边同时除以ϕ(r)χ(t)\phi(\textbf r)\chi(t)ϕ(r)χ(t),
iℏχ(t)ddtχ(t)=1ϕ(r)(−ℏ22mΔϕ(r))+V(r)\frac{i\hbar}{\chi(t)}\frac{d }{d t}\chi(t) = \frac{1}{\phi(\textbf r)} \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta \phi(\textbf r) \right)+V(\textbf r)χ(t)iℏdtdχ(t)=ϕ(r)1(−2mℏ2Δϕ(r))+V(r)

这样就把时间放在了左边，空间分在了右边，这个等式要成立除非左右都等于常数。一个可能的例子是这个常数为ℏw\hbar wℏw，那么左边部分就是
iℏχ(t)ddtχ(t)=ℏw\frac{i\hbar}{\chi(t)}\frac{d }{d t}\chi(t) =\hbar wχ(t)iℏdtdχ(t)=ℏw

它的解可以表示为
χ(t)=Ae−iwt\chi(t)=Ae^{-iw t}χ(t)=Ae−iwt

而右边部分是
1ϕ(r)(−ℏ22mΔϕ(r))+V(r)=ℏw\frac{1}{\phi(\textbf r)} \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta \phi(\textbf r) \right)+V(\textbf r)=\hbar wϕ(r)1(−2mℏ2Δϕ(r))+V(r)=ℏw

这也是一个很常见的波动方程。所以波函数的一个特解可以是
ψ(r,t)=ϕ(r)e−iwt\psi(\textbf r,t)=\phi(\textbf r)e^{-iwt}ψ(r,t)=ϕ(r)e−iwt

这个形式的波函数被称为薛定谔方程的stationary solution，因为这个形式的解与电磁理论中的time-harmonic field的形式类似，模与时间是无关的，而波函数的模决定了粒子的概率分布，所以stationary solution实际含义是粒子在空间中分布的概率与时间无关。

回想一下Planck-Einstein Relations：
E=ℏwE = \hbar wE=ℏw

代入到上面的波动方程中：
[−ℏ22mΔ+V(r)]ϕ(r)=Eϕ(r)\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta +V(\textbf r) \right]\phi(\textbf r)=E\phi(\textbf r)[−2mℏ2Δ+V(r)]ϕ(r)=Eϕ(r)

定义Hamiltonian为
H=−ℏ22mΔ+V(r)H=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta +V(\textbf r)H=−2mℏ2Δ+V(r)

这是一个非常重要的线性算子，后续会详细介绍它的性质，但把它代入到波动方程中：
Hϕ(r)=Eϕ(r)H\phi(\textbf r)=E\phi(\textbf r)Hϕ(r)=Eϕ(r)

这是一个非常有趣的式子，如果把ϕ(r)\phi(\textbf r)ϕ(r)看成向量，把HHH看成矩阵，那么EEE就是HHH的一个特征值，ϕ(r)\phi(\textbf r)ϕ(r)是与之对应的特征向量；而实际上HHH是线性算子，ϕ\phiϕ是表示物质粒子状态的（平方可积的）波函数，我们可以把ϕ(r)\phi(\textbf r)ϕ(r)理解为L2L^2L2空间中的元素，而L2L^2L2空间是向量空间，所以实际上EEE也确实可以看成线性算子HHH的特征值。但是现阶段在解这类薛定谔方程的时候，标准方法还是找到V(r)V(\textbf r)V(r)的表达式，代入

稳定态

假设{En}\{E_n\}{En}表示HHH的特征值，那么对每一个EnE_nEn都存在特征向量ϕn(r)\phi_n(\textbf r)ϕn(r)与之对应：
Hϕn(r)=Eϕn(r)H\phi_n(\textbf r) = E\phi_n(\textbf r)Hϕn(r)=Eϕn(r)

称这些波函数{ϕn}\{\phi_n\}{ϕn}代表的状态为稳定态(stationary state)，称{En}\{E_n\}{En}为这些稳定态对应的能阶，而根据Planck-Einstein Relations，每一个稳定态对应的波函数也可以写出来：
ψn(r,t)=ϕn(r)e−iEnℏt\psi_n(\textbf r,t)=\phi_n(\textbf r)e^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}ψn(r,t)=ϕn(r)e−iℏEnt

而所有稳定态对应波函数的线性组合就是薛定谔方程的通解：
ψ(r,t)=∑ncnϕn(r)e−iEnℏt\psi(\textbf r,t)=\sum_n c_n\phi_n(\textbf r)e^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}ψ(r,t)=n∑cnϕn(r)e−iℏEnt