一道求极限题目对导数定义的思考

题目

已知f(0)=f′(0)=0,f′′(0)≠0,求lim⁡x→0xf(x)∫0xf(u)du+xf(x)f(0)=f'(0)=0,f''(0)≠0,求\lim_{x \rightarrow0}\frac{xf(x)}{\int_{0}^{x}f(u)du+xf(x)}f(0)=f′(0)=0,f′′(0)=0,求limx→0∫0xf(u)du+xf(x)xf(x)

先给出答案：answer=3/4

解答

lim⁡x→0xf(x)∫0xf(u)du+xf(x)=lim⁡x→0f(x)+xf′(x)2f(x)+xf′(x)（洛必达）=lim⁡x→0f(x)x2+f′(x)x2f(x)x2+f′(x)x(同➗x2)=lim⁡x→0f(x)x2+lim⁡x→0f′(x)x2lim⁡x→0f(x)x2+lim⁡x→0f′(x)x(极限存在，拆开)=f′′(0)2+f′′(0)f′′(0)+f′′(0)=34（导数定义）\lim_{x \rightarrow0}\frac{xf(x)}{\int_{0}^{x}f(u)du+xf(x)}= \lim_{x \rightarrow0}\frac{f(x)+xf'(x)}{2f(x)+xf'(x)} （洛必达） \\= \lim_{x \rightarrow0}\frac{\frac{f(x)}{x^2}+\frac{f'(x)}{x}}{2\frac{f(x)}{x^2}+\frac{f'(x)}{x}} (同➗x^2) \\= \frac{\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x^2}+\lim_{x \to 0}\frac{f'(x)}{x}}{2\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x^2}+\lim_{x \to 0}\frac{f'(x)}{x}} (极限存在，拆开)\\= \frac{\frac{f''(0)}{2}+{f''(0)}}{{f''(0)}+{f''(0)}}=\frac{3}{4}（导数定义） x→0lim∫0xf(u)du+xf(x)xf(x)=x→0lim2f(x)+xf′(x)f(x)+xf′(x)（洛必达）=x→0lim2x2f(x)+xf′(x)x2f(x)+xf′(x)(同➗x2)=2limx→0x2f(x)+limx→0xf′(x)limx→0x2f(x)+limx→0xf′(x)(极限存在，拆开)=f′′(0)+f′′(0)2f′′(0)+f′′(0)=43（导数定义）

本题要点

判断极限的可加性和导数的定义

极限的可加性指的是
如果2个极限分别存在，即若lim⁡x→0f(x)=A,\lim_{x\rightarrow0}f(x)=A,limx→0f(x)=A,lim⁡x→0g(x)=B,\lim_{x\rightarrow0}g(x)=B,limx→0g(x)=B,则lim⁡x→0[f(x)±g(x)]=lim⁡x→0f(x)±lim⁡x→0g(x)=A±B\lim_{x\rightarrow0}[f(x)±g(x)]=\lim_{x\rightarrow0}f(x)±\lim_{x\rightarrow0}g(x)=A±Blimx→0[f(x)±g(x)]=limx→0f(x)±limx→0g(x)=A±B

对于本题的解答，极限为什么可以拆开呢？ 因为f(x) 积分一次幂次上升一次，和xf(x)的幂次是一样的。如果原极限存在，则必然分开的极限也存在。同样地，求导之后，分子和分母的幂次还是相同的，可以假定极限存在。若求不出来，则假定不成立，即极限不能拆开。在计算的过程中，我们发现假定是正确的。

思考

看似题目连连续、可导的条件都没有告诉，只告诉了x=0这一点的情况，实际上，我们翻看导数的定义：

定义：设函数y=f(x)在点x0x_0x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0x_0x0处取得增量Δx\Delta xΔx(点Δx+x0\Delta x+x_0Δx+x0仍然在该邻域内 ) 时，相应地，因变量取得增量Δy=f(Δx+x0)−f(x0)\Delta y=f(\Delta x+x_0)-f(x_0)Δy=f(Δx+x0)−f(x0); 如果Δy\Delta yΔy和Δx\Delta xΔx之比当Δx→0\Delta x \rightarrow0Δx→0时的极限存在，那么称函数y=f(x)在点x0x_0x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0x_0x0处的导数，记为f′(x0)f'(x_0)f′(x0)

导数定义的第一句话便告诉我们：如果f′(0)f'(0)f′(0)存在，那么必然在x=0的小邻域内函数f(x)有定义，同样地,如果f′′(0)f''(0)f′′(0)存在，那么必然在x=0的小邻域内函数f′(x)f'(x)f′(x)有定义。

并且由函数可导性与连续性的关系

如果函数y=f(x)在x处可导，那么函数在该点必连续；如果一个函数在某点连续却不一定在该点可导。

回到本题，由于f′(0)=0f'(0)=0f′(0)=0，我们可以知道，y=f(x)在x=0处连续;由于f′′(0)≠0f''(0)≠0f′′(0)=0，我们可以知道，f′(x)f'(x)f′(x)在x=0处连续。但是，关于f′′(x)f''(x)f′′(x)的连续性我们是不得而知的，而且f′′′(0)f'''(0)f′′′(0)是否存在我们也是不知道的，因为我们不知道二阶导数f′′(x)f''(x)f′′(x)在x=0的邻域内是否有定义，如果没有定义，那么f′′′(0)f'''(0)f′′′(0)不存在。

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