高等数学期末总复习 DAY 3.利用导数定义求极限判断连续与可导的关系关于导数定义的证明题基本求导基本高阶求导抽象函数求导

DAY 3.

一路陪我走过来的从来都不是什么善良正直正能量，而是虚荣嫉妒不甘心

文章目录

DAY 3.
- 1. 利用导数定义求极限
- 2.判断连续与可导的关系
- 3.关于导数定义的证明题
- 4.基本复合函数求导
- 5. 基本高阶求导
- 6. 抽象函数求导

1. 利用导数定义求极限

导数的两种定义

f′(x0)f'{(x_0)}f′(x0) = lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}limx→x0x−x0f(x)−f(x0)
f′(x0)f'{(x_0)}f′(x0) = lim⁡Δx→0\lim_{ \Delta x \to 0}limΔx→0 f(x0+Δx)−f(x0)Δx\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{ \Delta x}Δxf(x0+Δx)−f(x0)

解题基本用到的是凑上面两种形式的思想。

例题1
求 A = lim⁡Δx→0\lim_{ \Delta x \to 0}limΔx→0f(x−Δx)−f(x)Δx\frac{f(x - \Delta x) - f(x)}{ \Delta x}Δxf(x−Δx)−f(x) 的极限

这里和上面第二类导数的定义就相差一个正负号 f(x+Δx)f(x + \Delta x)f(x+Δx)所以很显然我们要凑第二类导数的定义

解：
A = lim⁡Δx→0\lim_{ \Delta x \to 0}limΔx→0f(x0−Δx)−f(x0)Δx\frac{f(x_0 - \Delta x) - f(x_0)}{ \Delta x}Δxf(x0−Δx)−f(x0)

= lim⁡Δx→0\lim_{ \Delta x \to 0}limΔx→0f(x0+(−Δx))−f(x0)−Δx\frac{f(x_0 +(- \Delta x)) - f(x_0)}{ -\Delta x}−Δxf(x0+(−Δx))−f(x0) *(-1)

= f′(x0)f'(x_0)f′(x0) * (-1)

= - f′(x0)f'(x_0)f′(x0)

例题2
如果f(0)=0f(0) = 0f(0)=0 ，且 f′(0)f'(0)f′(0)存在，求A = lim⁡x→0f(x)x\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}limx→0xf(x)

解：由题意得

A = lim⁡x→0f(x)−0x−0\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - 0}{x - 0}limx→0x−0f(x)−0

=lim⁡x→0f(x)−f(0)x−0\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}limx→0x−0f(x)−f(0)

=f′(0)f'(0)f′(0)

例题3
求A = lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0−h)h\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{h}limh→0hf(x0+h)−f(x0−h)

解：原式

=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)+f(x0)−f(x0−h)h\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0) +f(x_0)- f(x_0 - h)}{h}limh→0hf(x0+h)−f(x0)+f(x0)−f(x0−h)

=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)h\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0) }{h}limh→0hf(x0+h)−f(x0) - lim⁡h→0f(x0−h)−f(x0)h\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 - h) - f(x_0) }{h}limh→0hf(x0−h)−f(x0)

=f′(x0)f'(x_0)f′(x0) - lim⁡h→0f(x0−h)−f(x0)h\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 - h) - f(x_0) }{h}limh→0hf(x0−h)−f(x0)

=f′(x0)f'(x_0)f′(x0) - (-f′(x0)f'(x_0)f′(x0))

=2f′(x0)f'(x_0)f′(x0)

2.判断连续与可导的关系

可导一定连续，连续不一定可导

一般有两种题型：

f(x)={...(x!=x0)...(x=x0)f(x)=\left\{ \begin{aligned} ... & & (x != x_0) \\ ... & & (x = x_0) \\ \end{aligned} \right. f(x)={......(x!=x0)(x=x0)

例题4

讨论 f(x)={0x=0x2sin1xx!=0f(x)=\begin{cases} 0& \text{x=0}\\x^2sin\frac{1}{x}& \text{x!=0} \end{cases}f(x)={0x2sinx1x=0x!=0 的连续性与可导性

解：依题意得该函数的断点为 x = 0

则：lim⁡x→0x2sin⁡1x\lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x}limx→0x2sinx1 = 0
(DAY 1.中的一个重要结论无穷小量*有界函数 = 0)
由此可知该函数连续。
而：f′(0)f'(0)f′(0) = lim⁡x→0f(x)−f(0)x−0\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}limx→0x−0f(x)−f(0) = lim⁡x→0x2sin⁡1x−0x−0\lim_{x \to 0} \frac{x^2\sin \frac{1}{x} - 0}{x - 0}limx→0x−0x2sinx1−0 = 0
所以该函数也可导

f(x)={...(x≤x0)...(x>x0)f(x)=\left\{ \begin{aligned} ... & & (x \le x_0) \\ ... & & (x > x_0) \\ \end{aligned} \right. f(x)={......(x≤x0)(x>x0)

例题5

f(x)={x2x <= 1ax+bx>1f(x)=\begin{cases} x^2& \text{x <= 1}\\ax+b& \text{x>1} \end{cases}f(x)={x2ax+bx <= 1x>1 在 x = 1处可导，求a,b

解：首先函数可导则一定连续

可得, lim⁡x→1ax2+b=f(1)=1\lim_{x \to 1} ax^2 + b = f(1) = 1limx→1ax2+b=f(1)=1 可推 ⇒\Rightarrow⇒ a + b = 1
然后，函数可导，则左右导数相等；
利用定义求导可得，
f′(1−)=lim⁡x→1−f(x)−f(1)x−1f'(1^-) = \lim_{x \to 1^-} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}f′(1−)=limx→1−x−1f(x)−f(1) = lim⁡x→1−x2−1x−1\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 - 1}{x - 1}limx→1−x−1x2−1 = 2

f′(1+)=lim⁡x→1+f(x)−f(1)x−1f'(1^+) = \lim_{x \to 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}f′(1+)=limx→1+x−1f(x)−f(1)

= lim⁡x→1+ax+b−1x−1\lim_{x \to 1^+} \frac{ax +b - 1}{x - 1}limx→1+x−1ax+b−1

=lim⁡x→1+(1−b)x+b−1x−1\lim_{x \to 1^+} \frac{(1-b)x +b - 1}{x - 1}limx→1+x−1(1−b)x+b−1

= lim⁡x→1+(1−b)(x−1)x−1\lim_{x \to 1^+} \frac{(1-b)(x - 1)}{x - 1}limx→1+x−1(1−b)(x−1)

= 1-b
所以： 1 - b = 2 ⇒\Rightarrow⇒ b = -1
由于：a + b = 1 ⇒\Rightarrow⇒ a = 2

3.关于导数定义的证明题

例题6
设 f (x) 满足条件：

f(x+y)=f(x)f(y);x,y∈Rf(x + y) = f(x)f(y) ; x,y \in Rf(x+y)=f(x)f(y);x,y∈R
f(x)=1+xg(x),lim⁡x→0g(x)=1f(x) = 1+xg(x), \lim_{x \to 0} g(x) = 1f(x)=1+xg(x),limx→0g(x)=1
证明f（x）在 R 上处处可导，且f′(x)=f(x)f'(x) = f(x)f′(x)=f(x)

解：f′(x)=lim⁡Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δxf'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}f′(x)=limΔx→0Δxf(x+Δx)−f(x)

= lim⁡Δx→0f(x)f(Δx)−f(x)Δx\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x)f( \Delta x) - f(x)}{\Delta x}limΔx→0Δxf(x)f(Δx)−f(x)

=lim⁡Δx→0f(x)(f(Δx)−1)Δx\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x)(f( \Delta x) - 1)}{\Delta x}limΔx→0Δxf(x)(f(Δx)−1)

=f(x)lim⁡Δx→0f(Δx)−1Δxf(x)\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f( \Delta x) - 1}{\Delta x}f(x)limΔx→0Δxf(Δx)−1

=f(x)lim⁡Δx→01+Δxg(Δx)−1Δxf(x)\lim_{\Delta x \to 0} \frac{1 + \Delta x g(\Delta x)- 1}{\Delta x}f(x)limΔx→0Δx1+Δxg(Δx)−1

=f(x)lim⁡Δx→0g(Δx)f(x)\lim_{\Delta x \to 0} g(\Delta x)f(x)limΔx→0g(Δx)

= f(x)f(x)f(x)

证毕

4.基本复合函数求导

注意牢记基本公式

5. 基本高阶求导

和例题7安排在一起

注意求导的先后次序，以及中间是否可以化简等，不骜述。

6. 抽象函数求导

例题7 包含第五点基本高阶求导

求 y=f(x2)y = f(x^2)y=f(x2) 的 dydx,d2ydx2\frac{d_y}{d_x}, \frac{d^2{_y}}{d_x^2}dxdy,dx2d2y

解：

dydx\frac{d_y}{d_x}dxdy = f′(x2)∗2xf'(x^2) * 2xf′(x2)∗2x (先函数求导再中间量求导)

d2ydx2\frac{d^2{_y}}{d_x^2}dx2d2y = (f′(x2)∗2x)′(f'(x^2) * 2x)'(f′(x2)∗2x)′ (乘积的求导) = f′′(x2)∗2x∗2x+f′(x2)∗2f''(x^2) *2x *2x + f'(x^2) *2f′′(x2)∗2x∗2x+f′(x2)∗2 = 4x2f′′(x2)+2f′(x2)4x^2 f''(x^2) + 2f'(x^2)4x2f′′(x2)+2f′(x2)