一道经典极限题的分析与求解

题目

lim⁡x→∞ex(1+1x)x2\lim_{x\to \infty}\frac{\mathrm{e}^x}{(1+\frac1x)^{x^2}} x→∞lim(1+x1)x2ex

分析

乍看此题，可能会直接得出极限为1的错误答案，实际上第二类重要极限不能直接代入进去，而是需要进行一些变换之后再用L’Hospital法则进行求解。

求解步骤

首先注意到原极限可以将xxx次方提取出来，即：
lim⁡x→∞ex(1+1x)x2=lim⁡x→∞[e(1+1x)x]x=lim⁡x→∞[(1+1x)x+e−(1+1x)x(1+1x)x]x=lim⁡x→∞[1+e−(1+1x)x(1+1x)x]x=lim⁡x→∞{[1+e−(1+1x)x(1+1x)x](1+1x)xe−(1+1x)x}ex−x(1+1x)x(1+1x)x=exp⁡(lim⁡x→∞ex−x(1+1x)x(1+1x)x)\begin{aligned} \lim_{x\to \infty}\frac{\mathrm{e}^x}{(1+\frac1x)^{x^2}} &=\lim_{x\to \infty}\left[\frac{\mathrm{e}}{(1+\frac1x)^{x}}\right]^x\\ &=\lim_{x\to \infty}\left[\frac{(1+\frac1x)^{x}+\mathrm{e}-(1+\frac1x)^{x}}{(1+\frac1x)^{x}}\right]^x\\ &=\lim_{x\to \infty}\left[1+\frac{\mathrm{e}-(1+\frac1x)^{x}}{(1+\frac1x)^{x}}\right]^x\\ &=\lim_{x\to \infty}\left\{\left[1+\frac{\mathrm{e}-(1+\frac1x)^{x}}{(1+\frac1x)^{x}}\right]^{\frac{(1+\frac1x)^{x}}{\mathrm{e}-(1+\frac1x)^{x}}}\right\}^{\frac{\mathrm{e}x-x(1+\frac1x)^{x}}{(1+\frac1x)^{x}}}\\ &=\exp\left({\lim_{x\to\infty}\frac{\mathrm{e}x-x(1+\frac1x)^{x}}{(1+\frac1x)^{x}}}\right) \end{aligned} x→∞lim(1+x1)x2ex=x→∞lim[(1+x1)xe]x=x→∞lim[(1+x1)x(1+x1)x+e−(1+x1)x]x=x→∞lim[1+(1+x1)xe−(1+x1)x]x=x→∞lim⎩⎪⎨⎪⎧[1+(1+x1)xe−(1+x1)x]e−(1+x1)x(1+x1)x⎭⎪⎬⎪⎫(1+x1)xex−x(1+x1)x=exp(x→∞lim(1+x1)xex−x(1+x1)x)
于是要求原极限，只需计算：
lim⁡x→∞ex−x(1+1x)x(1+1x)x\lim_{x\to\infty}\frac{\mathrm{e}x-x(1+\frac1x)^{x}}{(1+\frac1x)^{x}} x→∞lim(1+x1)xex−x(1+x1)x
为此，先化简，分母可以利用重要极限，整个极限应用L’Hospital法则（为方便导数计算，进行变量替换t=1xt=\dfrac1xt=x1）：
lim⁡x→∞ex−x(1+1x)x(1+1x)x=lim⁡x→∞ex−x(1+1x)xex=1t=lim⁡t→0e−(1+t)1tetL′Hospital=lim⁡t→0−(1+t)1t(−1t2ln⁡(1+t)+1t⋅1t+1)e=lim⁡t→0(1t2ln⁡(1+t)−1t⋅1t+1)=lim⁡t→0ln⁡(1+t)−tt+1t2L′Hospital=lim⁡t→011+t−1(1+t)22tL′Hospital=lim⁡t→0−1(1+t)2+2(1+t)32=12\begin{aligned} \lim_{x\to\infty}\frac{\mathrm{e}x-x(1+\frac1x)^{x}}{(1+\frac1x)^{x}} &=\lim_{x\to\infty}\frac{\mathrm{e}x-x(1+\frac1x)^{x}}{\mathrm{e}}\\ &{\tiny{x=\frac1t}\atop=}\lim_{t\to0}\frac{\mathrm{e}-(1+t)^{\frac1t}}{\mathrm{e}t}\\ &{\tiny{L'Hospital}\atop=}\lim_{t\to0}\frac{-(1+t)^{\frac1t}\left(-\frac1{t^2}\ln(1+t)+\frac1t\cdot\frac1{t+1}\right)}{\mathrm{e}}\\ &=\lim_{t\to0}\left(\frac1{t^2}\ln(1+t)-\frac1t\cdot\frac1{t+1}\right)\\ &=\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)-\frac{t}{t+1}}{t^2}\\ &{\tiny{L'Hospital}\atop=}\lim_{t\to0}\frac{\frac1{1+t}-\frac1{(1+t)^2}}{2t}\\ &{\tiny{L'Hospital}\atop=}\lim_{t\to0}\frac{-\frac1{(1+t)^2}+\frac2{(1+t)^3}}{2}\\ &=\frac12 \end{aligned} x→∞lim(1+x1)xex−x(1+x1)x=x→∞limeex−x(1+x1)x=x=t1t→0limete−(1+t)t1=L′Hospitalt→0lime−(1+t)t1(−t21ln(1+t)+t1⋅t+11)=t→0lim(t21ln(1+t)−t1⋅t+11)=t→0limt2ln(1+t)−t+1t=L′Hospitalt→0lim2t1+t1−(1+t)21=L′Hospitalt→0lim2−(1+t)21+(1+t)32=21

所以，原极限
lim⁡x→∞ex(1+1x)x2=e\lim_{x\to \infty}\frac{\mathrm{e}^x}{(1+\frac1x)^{x^2}}=\sqrt{\mathrm{e}} x→∞lim(1+x1)x2ex=e