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我们开始讲函数的极限,这节课呢,我将会分成两节课去想他说的迹象,先说它的定义以及一些基本的性质以及基本的求极限的方法,然后下一节课就是重点,我们考研经常会考也是求极限的,必须会的一种方法就是利用苏小小或者是泰勒展开去求极限,其实我从小就是泰勒展开中的一部分,只不过他展开剂展开一项而已,那他的展开的是可以展开到单向的打扮一下下一节课,我们再去接树脂的无双,我们先从函数极限的定义入手,讲这个函数极限的定义的时候,首先要知道什么叫做淋浴啊,我们先看一下邻居的定义,其实邻居就是旁边的这些区域的意思,别说你军训的时候,你跟你同学排成一列对吧,排成一行,那么你在中间,然后你旁边的那几个同学,那就是你邻居上的元素,那就看你这个淋浴的半径是多少,比如说打半天,那你以米为中间,这个爱就是你自己了,是吧这个A,然后按第,那么就是左边三个,右边三个在这些呀,包括在一起,那就是这个啊,我们就记为U杯,加塔是吧,野外调查用数学的表示呢,UI医疗卡就是指,这个黄色阴影部分的就是说,这些孩子什么样的一次呢,大鱼背简答题大约捡到卡小于哀家了,他的那些元素就是这个黄色的阴影的最多是吧,或者是说写成绝对值的显示小雨大唐这个调查往往会去非常想啊,就是非常小一个半径去泡进去,对我们用的时候啊,还有一个去心邻域的概念就是把中间那个去掉你,你在军训的时候排队把你去打你的去心邻域就是你旁边的那些不包括你对吧,就是把这个阿姨给去掉,把嘴不能等于零的吧,这个绝对值不能等于零八一去了,那我们现在在看函数极限的定义,这个这种定义呢,是我们区分高等数学跟把中学数学不是非高等数学的一个界限啊,我们在中学的时候没有学过这种语言对吧,那我们现在就回顾下这个定义到底是什么,首先你要知道,什么叫做两个数相等,A等于B,在我们中学的方法就是拿一件的是不是等于零的吧,如果等于零,那么它就想到话说A水B,他懂不懂一一等于一,那么他们就想走,但是,在我们大学,我们高等数学学的他不单只是一个数把,它是一个函数要取极限,那请问这个这个哎跟这个极限是不相等,我们怎么去刻画呢,那我们就用要用这个啊,别吃了加塔语言爆发,他,那这个有什么就很小的一个,就他就代表一个很小的,就可以无无限小的一个数,那这两个数,我们怎么去判断他想法,那就是A减B,如果他的绝对值可以任意想这个事,对任意的影响大于零,如果他愿意想,就他们的差可以任意小的话,我们就认为被盗,你,六块钱,当然这个B不一定是有个数啊,他可能是一个函数,通常出现这个医生都是一个去一线的过程,你别说这个零点十环最后面有很多酒对吧,那这个呢,吃等于一的我们学了极限的语言之后,我们就会知道零点循环,这个是十等于一的,他不是约等于他也不会小姨,她是等于因为什么呢,因为这个一减零点循环,他的绝对时总会想给你的也不少,就是你愿意去的,无论去多想,当然要打扰你了,是吧都可以做到意思就是说,这个一和零点循环相通吗,这就是我们极限的定义所依赖的,这个根据我们在看极限定义范围什么是怎么下定义的,它的定义呢,就是啊,我们别说这个函数有个图,我想换一个,怎么去定义这个函数的极限,你说我们这样的一个函数在X零这个点不一定是等于爱凡士林是吧,就不会说爱妃沈琳她不一定在这里的吧,但是他的极限一定是在这里啊,他有可能这个点在上面有可能,FF零,就是这个有可能在上面对吧,杯子里有可能是在上面,但是他的极限是固定的,是哪里的就是这个空心这个点,那我们怎么去定义它呢,首先我们就是,要这个FX在X零的某一个去芯淋浴淋浴,那是有变异的,然后如果存在这样的一个常数,什么长处呢,那就是这个哎呀,我们看下这个A市,有什么心思呢,存在一个如果存在一个A,对任意的改变的一匹马,如龙这个有什么永远的时候却很小的啊,他总这个IP什么的就是,就是A的旁边啊,哎的邻居就是这个Y轴上了,哎,他的邻居无论多小,然后,总存在一个吊塔,就是这个早叫他就是的这个邻居,使得这个再次零上面的,就是您的邻居,上面的这些元素都可以落到,就这些点的都可以落到这个哎的旁边,那这样子就说这个哎是他的极限,能满足这个满足这个式子,就是说这里的点落入非的邻居吗,对吧,FS,这个点录入了哎的,为什么邻居那么我们啊,我们可以直接站着去记,这是我们用数学的语言的,就是惦记着这事啊,二零,但在一个杀他似的,林小鱼爱吃点在身边小鱼打他,迟,太白几件,哎,夏日那你就记这个就行了,是吧,一开始我们可能对这个语言不太熟了,你就别记着了,就记为FS的极限,在一起去S零的极限是等于C的,你就这样子啊,这是他的一个定义,那我们其实到后面其实蛮少用这个了,那么我们我们是借助一些店里常见的极限区啊,去算函数的极限,别说我们有两个重要的病理,这两个重要定理就是我们常用来去转函数,话说数列的极限的第一个夹逼定理,它有两个条件,第一个就是这个函数被两个函数夹在中间,然后第二个条件就是,假爱妃吃的那两个函数,它有极限,而且香皂,那么,中间的这个也会等于爱对吧,就是别说爱妃赐爱妃,可是在在我这两个手掌中间,在这里不断的跳跃到这两个手掌大到无穷远处,我要合在一起的对吧,那你中间的这个事就不被我压在一条直线上,对他的是极限了,也跟我似的,两个上下的底线是降则么,就是侠客进来,是啊,这两个定理数列的出了一个函数,都一起用的都可以用,叫个单调有界定理,那我们这里就写数列的闲适淡然函数的形式,他也是可以的,据说这个函数如果他是单调递增的散掉地上,那么我有一个上届的话你就装不了,是吧,单调递增,而且有上线,他就会,就会控制在这个上届以下的这个这条线对他就是有底线的啊,因为他要单调了还不算的上去,结果你上不上超越不了我这个贱,所以你只能在我叔的店下面,你的某一个实现某一个树,那里对吧,如果是单调递减的话,那我就要有下线了,老子是单调有界定理,还有我们在课本的话学了这两个定理,我们就马上会得到两个重要的极限,第一个呢,就是,在吃饭的噻,这是非常非常的经典的一个体现了,对吧,还有一个是等于志洋底数一的我们,就是在这里定义自然抵触的本来,我们其实不知道这个极限是什么的,但是我们为了方便数学家们为了方便我们就管这个极限,叫做一,之一的由来,这意思有了,我们先看第一个极限,其实他证明证明我就不讲了我,我想我大概讲一下,他用的是上次我们讲的一个不懂事就是三人来自教育儿子教育,用的是这个不懂事,然后两边除延迟,然后再加,在峡壁大概大概是这样子啊,就会得到其实,如果你觉得我等下,我会讲这个洛必达法则,你就会可以直接求导,就知道这个函数它的就是用夏洛必达就马上都一了,对吧,那我们除了记这个,第一个,除了其他的极限趋于零的时候等一以外,还要知道趋于无穷的时候来此区无穷,对顺便写一下,哎,队伍,三眼雷子枫在说,这是等于零的对吧,因为无穷的时候上面分子是有限的,下面是趋于无穷,那整个倒过来就变成了是吧,我们还可以发出它的图像,真话,实话,在第一个,在林处没有变异,但是极限次等于一对吧,然后,但是,大概是这样子打两边对冲了,在后面就知道,区区无穷的吧,还是可以拨动的,但是是区里大概是这样子,对吧,我们要知道它的图像,右边这个我们记得不单止是这个一加一次加括号一次分之一,这种形式我们要记得是什么,把零带进去就变成了变成了一的无穷次方的吧,你要弃这个一的无穷次方这个形式,但凡你遇到题目,如果是一的无穷次方,你就想到他有可能是,就是用这个公司的对吧,这个单子是爱情,就是它可以变成一个框框,反正这个框框里面去领就行了对吧,无论是什么班呀,你不能等于零了,这个框框不能因为他是二十分之一吗,一家一个框框,然后这个框框分子,咦,这个都是等于几的对吧,这个框呢,是不能等于零,只要他去玉林就可以了,我们就可以认为它是防御低的,然后我们还,我们在看这个他的预算就是他的加减乘除,因为,我们考试的很多函数都是通过出的基本的初等函数不好啊来的吧就是我们上次在讲的不大,但这些初等函数,他的极限了,我们往往是知道的,连续函数极限就可以直接带进去,在电视剧里面啊,我们看第一个加减加减,如果前提是两个极限都存在啊,这两个极限都存在的时候,那么他们合起来这两个函数的加减的极限是等于他们先求极限,再加减,那城南也是一样,除其实也差不多啊,但你只要出现了分母,就一定要规定这个分母是不能为零,所以意思是说加减乘除我都可以去单独去算,在价钱,这是他的一个四则运算,对于这个洛必达法则呢啊,因为他其实还是蛮简单的,就是上下群法,如果不是零比零型,那你就凑成零比零,画师无穷,比无穷型就行了,但我们这里就不讲,我们讲一些把稍微难一点的,比如说一的无穷次方就是刚才我们讲的这个啊,这个两个特殊的两个,重要的极限的,这个第二个是吧,他跟这个自然底数是有密切的关系的,如果你,白痴带进去出现了一笔无穷的这种形式,而且它长成这种前世的话就是被球球极限的,这个函数是这种形式,US然后B再一次次方,这种我们称之为幂指函数,就是这个,幂函数就是下面是一个S幂函数,就是一次的安置房子是幂函数指数函数的就是挨打一次吃饭,把这个两个合在一起了,两个变量上下都有变了,我们就称为蜜枣啊,对于秘书函数求极限了,有一个固定的方法就是去一个自然底数,就是一来要你们,但凡看到这个一合练他们碰在一起,他们是可以直接消掉的,对吧话说我们列好一个函数都可以天这个依恋上去,那么这个是指数就可以放下来,所以原来球,这个幂指函数的,极限就变成了球,这个指数到极限了,所以别说我们既这个唯爱对吧,结果哎,那我们就去求A的极限就行了,是吧,你别说啊,这个球他的极限,那么这就是一个秘书函数,下面有一次上面也有S,那么我们直接去求他,那是等于,啊就是,这是白衣也好难这个的对吧,来自家AH减肥再吃吃饭还是吃饭,我们就放在这里,相当于如果你熟的话,我中间这里写的这句你都不用写,直接去求,牛,嘿,长约,额我这里杀了,找了个几下,对呀,开启低于步枪,哎,直接就等于,这个白痴了,嘿嘿,嘿,S甲S甲A,是吧,所以给你一个题目求这个幂指函数,你直接先求这个爱爱是什么,就是把这个指数拿下来,然后再补一个卖给他是吧,再补一个概念,这就是我们剧情爱了,我们看下这个ID怎么抢,那无穷的话,我们首先看量里面就变成了一只把另一等于零凌晨意无穷,凌晨无穷的我们就想办法把它变成零比零或无穷比无穷,就是把一个放到分母里面去的吧,但很显然,这个练呢就不适合放到分母,我们就把这个爱字放到父母感谢上,该写成这个儿子去吴秋得好烂的,这个是程乘除的,我们就写成捡的吧,这样的爱吃点饭先上这个要去除以分之一对吧,现在就变成了分母呢,还是原来的分子还是原来的就是区临了的吧,那分母呢,无穷分之一就是零,所以就是变成零比零型了,对吧,所以洛必达法则,这里睡,第一个就是对他球打得吧,队伍怎么分词就变成了一次加三分之一,减去每次减三分之一,是上面的下面的嘴只付一次班就变成负的X的负二次方,不好意思,那这个呢啊,也好,分子分母诚意开始编发,我我们先通风,先把上面分次头发,但愿,为此,去无穷这个倒过来就可以不爱吃配方的吧,这个通风再一次,甲哎,没时间,哎就变成了减肥减去爱家爱,转运奇仙第五圈合并一下这个儿子削掉了剩下负二负,负得正就变成了啊,SM吧,下面没加诶,几点开这个下面的最高次方式一十平方,而且他系数是一,所以整个极限就是懒腰,那是去无穷的时候,这种方式一眼看出是吧,好的这个不是答案了,这个事,哎,我们刷箱子还没还没玩这个哎,是的哎,哎,哎的那么,最后,这个极限应该是说元,是等于低低的啊,吃饭这样才行,意思就是说,你看到一个有幂指函数的,一个函数求他的极限的话,那你直接把这个孩子放下来,直接需求暂时放下来也好练这个东西对吧,这些就是这个埃拉黑了,那么,求叔叔阿姨带刀带进去就行,就是把填空和选择题,我们就非常快的得到答案,我们再看一下啊,当然,除了这个洛必达,还有一些就是用利用积分的定义去求极限是吧,这周可能也会卡,因为,这个感觉是特别难,如果你找不到方法,你就不知道怎么做,但是你找的最方法就是我们这个积分的定义的方法的话,你就很快的结束了,据说这个,我们先回顾积分的定义是吧,什么什么是积分的定义,就是积分就是把这些面积全部累加起来了,然后再取无穷是吧,嗯,块面积,就是这里最快可能是第二块领导,我们是零到一的鸡下的鸡蛋白费,只是上面这条只是爱妃,他在零到一的积分就是把零和一分成N段对吧,分成分成N块,面积,那么,把这些面积给累加起来再取极限,就是他的积分,JN块面积是怎么算的,这是第二块第二块就是底层仪膏吗,这个比是多少呢,是氨分子,我真是应该是N分之一,是吧,因为总长是一,我分成了N段,那么每一段就是二分之一,这些话,这应该是一样,每一段就是二分之一,就是DNA分子哎,快,这个是DNA分子,哎,快,但是它的长度是安分的,他的鄙视安分之一,它的高呢,就是把三分之二还带进去,得到的这个高就是F三分之二,这个就是,第八块面积是吧,第二块,长方形不说,这个曲边梯形的面积,那把这三块全部加起来就是哎,等于重从一到N,然后再另这个安区无穷,这样子就得到了,哪得到这个函数,他在零一的积分对吧,那么我们可以看一下右边是不是就是有一个极限啊,对吧,所以,你看到额这个是干嘛,然后中间那一向都很有规律的时候,我们就考虑可能这个极限了,就是用积分的极限竞技,积分的定义去求极限的,对吧,你比如说下面尸体,看一下是不是有真相啊,这里有安夏,而且每一项的都,就是从一,二就是,第一块就有一,然后第二块呢,就觉得他是从一到N,你不断的去增长了,是吧,但是这个是惩罚我们,我们上面是加法的吧,我们是七个吗,那怎么办呢,缺一个对手是吧,对树根此树呢,就是使得你从加法到乘法,乘法道加法的这样的一个转变,好像他求的是优恩,那我们优势成的,让我们看一下这个链接,我先取一个对手,谈什么呢,等于这个,练的那样子不好的加三分之一的一次发第一家二分的生意,一家分分之二的N次方,这个不好,三平方分子对吧,这是按平方分之一,那他是只说了这个他的指数直接放到系数等于安平方分之几,然后这里是惩罚就变成加法对吧,直接血吸干嘛啦,你干嘛,亮的,我还是等下载,一个一个个血,三分之一加上亮的,一加三分之二,你要在家,对啊,有真相嘛,对吧链子滴加氨酚酯安在还有还有这个,你吃饭吧,刚吃饭,那我们就把这个写上去干嘛,在干嘛,但你家的爱看的就是这个三分之二的吧,三分之二的三次方再爱次方,然后安娜从一到N,对就是这样子,那你看这个跟上面这个是不是是不是特别像很接近了对吧,首先,你要上面这个新技能是有三分之一要F三分之二的对吧,那我们看一下这里呢,三分之一是不是可以提出楠楠这个安分自己出来对吧,三分之一成瘾,那这个美眉像去除以二吗,变成了烂的一家庵分子,挨着爱吃饭去处以小爱,等于一道,恩对吧,话说乘以二分之一这个都可以,那么我们就看一下这个FS是什么,话说,三分才是这里再发文丰子恺之罪对吗,是吧,谢谢,我想把它咖啡穿,就等于这个对吧,还是自己写吧,嘿嘿,毛线,对于这个对吧,那请问,爱妃自然是吗,在这里,其实这个案子还可以放下来的吧,这个哎,还可以再磨下来,才会有又有这个嗯分之二,所以这个F在一起就是三月,这个安分的爱就是爱吃吗,爱吃章鱼烂的一家爱情对吧,那就很简单了,然后原来这个,一分了,有极限,亲们,安区无穷,亮子休班就会等于,山区吴淞,三分之一插到插座里对吧,三分之一长椅是干嘛,三分之二,成员烂的一家三分之二,哎,等于一道一道安是吧,他只嗯了,这个是安,詹秋爽那就这个呢,根据极限的定义,根据积分的定义,他这个就等于爱发一次,在零到一的积分是吧,这个就当领导你该反思是什么,爱吃凉的甲A,B,S,这边这个积分了,那我们再去算这个,这积分怎么算呢,应该是用分布积分对吧,这等于白是放到后面,二分之一亮的一家儿子一眼几天吧,等于二分之一乘零点一啊,在这边发烂的一家爱情再减去,等区领导平方除以一加一次,但愿,这就是领导一样,金刀一把一带进去就变成了练大了,把林丹一去就等于零了,再修大于二分之一,这个是一代进去就失恋了啊,减去上面这个在机房对吧,还挺麻烦的,对吧,零一,就补一个亿给他对吧,在此平方减一加一加一第一页,在干嘛等于,八分之一减去,第一项的就剩下了再次建议第一页第二项吗,就变成了,再减去没事加一都是一,你还是应该是这个,但愿对这个括号,八分之一练了再次减一就变成二分,二分之一X减一的平方带进去对吧减去练的每次加一,编辑,三月,天啊,把一担水等于零把零带进去,等于二分之一加减就变成加二分之一,再减去把一单去等于零把零带进去啊,不然把一带进去等于练吧,练吧,那之后呢,就敢约你,之一,是吧,所以零分,安区六安就等于四分之一,那么,那次去无穷余温的还是什么的,举个一的四分之一对吧,你你就先,你把极限给去掉吧,这个你就不要不要理这个迹象,那就是这个鄙视一聊着去吃饭,一吃饭就十一万了,是吧,别出意外,那就是啊,所以这个极限的我们就是通过积分的奠基去算出来是吧,这里的重点就是去寻找这个FS,重点,去寻找这个位置对吧,怎么寻找呢,就是首先你要配出,嗯分之一出来,然后派出嗯分子筛出来是吧,退出万分之一配出安魂散飞出这两个,然后把身份证哎变成一次就可以了,对吧,然后在积分那积分的这个过程,那这些就是积分的基本功了,好那么我们这个函数的,极限的第一期就讲到这里,