文章目录

微分&导数&微商
- 函数在x=x0x=x_0x=x0导数的定义
- 导函数的定义
- - 对数函数的导数推导(导数定义极限法)
- 导数与微分
- 对数函数的导函数
- 反函数求导法
- 对数求导法
- 导数表示法&导数记号系统
- - 莱布尼兹记号法
  - - 导数
    - 反微分(积分)
  - 拉格朗日记号法
  - - 导数
    - 反微分
  - 欧拉记号法
  - - 反微分
  - 牛顿记号

微分&导数&微商

函数在x=x0x=x_0x=x0导数的定义

定义两点

Ax0(x0,f(x0));(指定x=x0处的极限)Bx=(x,f(x))=(x0+Δx,f(x0+Δx)){Δx=x−x0Δy={f(x)−f(x0)f(x0+Δx)−f(x0)x→x0⟺Δx→0有时,也记h=ΔxA_{x_0}(x_0,f(x_0));(指定x=x_0处的极限) \\ B_x=(x,f(x))=(x_0+\Delta x,f(x_0+\Delta x)) \\ \begin{cases} \Delta x=x-x_0 \\ \Delta y= \begin{cases} f(x)-f(x_0) \\ f(x_0+\Delta x)-f(x_0) \end{cases} \end{cases} \\ x\rightarrow x_0 \Longleftrightarrow \Delta x\rightarrow 0 \\有时,也记h=\Delta x Ax0(x0,f(x0));(指定x=x0处的极限)Bx=(x,f(x))=(x0+Δx,f(x0+Δx))⎩⎪⎨⎪⎧Δx=x−x0Δy={f(x)−f(x0)f(x0+Δx)−f(x0)x→x0⟺Δx→0有时,也记h=Δx

lim⁡Δx→0ΔyΔx={lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δxlim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)h\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}} =\begin{cases} \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}} \\ \lim\limits_{x\rightarrow x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} \\ \lim\limits_{h\rightarrow 0}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} } \end{cases} Δx→0limΔxΔy=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧Δx→0limΔxf(x0+Δx)−f(x0)x→x0limx−x0f(x)−f(x0)h→0limhf(x0+h)−f(x0)

通常,为了方便书写,经常采用第三中形式进行推导:
f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_0)=\lim\limits_{ h \rightarrow 0}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} } f′(x0)=h→0limhf(x0+h)−f(x0)

导函数的定义

和导数的定义类似,我们将导数定义中的x0x_0x0替换为x
f′(x)=lim⁡Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δx=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} f′(x)=Δx→0limΔxf(x+Δx)−f(x)=h→0limhf(x+h)−f(x)

记
g(h)=f(x+h)−f(x)hg(h)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h} g(h)=hf(x+h)−f(x)

则
f′(x)=lim⁡Δx→0g(Δx)=lim⁡h→0g(h)这里这么写,是为了强调,利用导数定义求导数(导函数)的时候,被求极限的函数g(h)的自变量h(即f(x)自变量x的增量Δx)与被求导数的f(x)的自变量x不同f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{g(\Delta x)} =\lim_{h \rightarrow 0}{g(h)} \\这里这么写,是为了强调,利用导数定义求导数(导函数)的时候, \\被求极限的函数g(h)的自变量h(即f(x)自变量x的增量\Delta x)与被求导数的f(x)的自变量x不同 f′(x)=Δx→0limg(Δx)=h→0limg(h)这里这么写,是为了强调,利用导数定义求导数(导函数)的时候,被求极限的函数g(h)的自变量h(即f(x)自变量x的增量Δx)与被求导数的f(x)的自变量x不同
显然,f(x)在x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x=x0处的函数值f(x)在x_0处的导数f'(x_0)就是导函数f'(x)在x=x_0处的函数值f(x)在x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x=x0处的函数值
- f′(x0)=f′(x)∣x=x0=dydxf'(x_0)=f'(x)|_{x=x_0}=\frac{dy}{dx} f′(x0)=f′(x)∣x=x0=dxdy

对数函数的导数推导(导数定义极限法)

f(x)=logaxf′(x)=(logax)′=lim⁡h→0loga(x+h)−loga(x)h=lim⁡h→0loga(x+hx)h=lim⁡h→01hloga(x+hx)=lim⁡h→0loga(1+hx)1h记g(h)=loga(1+hx)1h(logax)′=lim⁡h→0g(h);g(h)的自变量是h(g(h)将x看作常量)该极限是1∞类型;由第二重要极限的推广公式得到:A=lim⁡h→0hx1h=1x所以对于u=ϕ(h)=(1+hx)1h;u0=lim⁡h→0u=e1x又由复合函数的极限运算法则:lim⁡h→0g(h)=lim⁡u→u0logau=logau0=logae1x根据换底公式得到(logax)′=logae1x=ln⁡e1xln⁡a=1x1ln⁡af(x)=log_a x \\ f'(x)=(log_a x)'=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{log_a{(x+h)}-log_a(x)}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{log_a(\frac{x+h}{x})}{h} \\=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}{log_a({x+h}{x})} \\=\lim_{h\rightarrow 0}{log_a{(1+\frac{h}{x})^{\frac{1}{h}}}} \\记g(h)={log_a{(1+\frac{h}{x})^{\frac{1}{h}}}} \\(log_a x)'=\lim_{h\rightarrow 0}g(h);g(h)的自变量是h(g(h)将x看作常量) \\ 该极限是1^\infin类型; 由第二重要极限的推广公式得到:A=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h}{x}\frac{1}{h}=\frac{1}{x} \\所以对于u=\phi(h)=(1+\frac{h}{x})^{\frac{1}{h}}; \\ u_0=\lim_{h\rightarrow 0}{u}=e^{\frac{1}{x}} \\又由复合函数的极限运算法则: \lim_{h\rightarrow 0}g(h)=\lim_{u\rightarrow u_0}log_a{u}=log_a u_0=log_a e^\frac{1}{x} \\根据换底公式得到(log_a x)'=log_ae^{\frac{1}{x}}=\frac{\ln e^{\frac{1}{x}}}{\ln a}=\frac{1}{x}\frac{1}{\ln a} f(x)=logaxf′(x)=(logax)′=h→0limhloga(x+h)−loga(x)=h→0limhloga(xx+h)=h→0limh1loga(x+hx)=h→0limloga(1+xh)h1记g(h)=loga(1+xh)h1(logax)′=h→0limg(h);g(h)的自变量是h(g(h)将x看作常量)该极限是1∞类型;由第二重要极限的推广公式得到:A=h→0limxhh1=x1所以对于u=ϕ(h)=(1+xh)h1;u0=h→0limu=ex1又由复合函数的极限运算法则:h→0limg(h)=u→u0limlogau=logau0=logaex1根据换底公式得到(logax)′=logaex1=lnalnex1=x1lna1

导数与微分

微分是导数的另一种描述形式
导数y′=dydxy'=\frac{dy}{dx}y′=dxdy,(函数的微分dy除以自变量x的微分dx,因而导数也叫做微商)

对数函数的导函数

(logax)′=1xln⁡a(log_ax)'=\frac{1}{x\ln a} (logax)′=xlna1

对数函数的导函数可以通过第二重要极限计算得到

反函数求导法

以ax的导函数推导为例,利用反函数求导法则以a^x的导函数推导为例,利用反函数求导法则以ax的导函数推导为例,利用反函数求导法则

直接函数
- x=x(y)=logayx,y取值范围:y∈(0,+∞)x∈(−∞,+∞)(自变量y的)函数x的导数:x′(y)=1y1ln⁡ax=x(y)=log_ay \\x,y取值范围: \\ y\in (0,+\infin) \\x \in (-\infin,+\infin) \\(自变量y的)函数x的导数: \\x'(y)=\frac{1}{y}\frac{1}{\ln a} \\ x=x(y)=logayx,y取值范围:y∈(0,+∞)x∈(−∞,+∞)(自变量y的)函数x的导数:x′(y)=y1lna1
反函数
- y=y(x)=ax★函数x(y)和函数y(x)互为反函数y=y(x)=a^x \\ \bigstar函数x(y)和函数y(x)互为反函数 \\ y=y(x)=ax★函数x(y)和函数y(x)互为反函数
反函数的导数
- 则:y′(x)=1x′(y)=11xln⁡a=xln⁡a即,y′(x)=(ax)′=xln⁡a∴(ax)′=xln⁡a则: y'(x)=\frac{1}{x'(y)}=\frac{1}{\frac{1}{x\ln a}}=x\ln a \\即,y'(x)=(a^x)'=x\ln a \\ \therefore (a^x)'=x\ln a 则:y′(x)=x′(y)1=xlna11=xlna即,y′(x)=(ax)′=xlna∴(ax)′=xlna

对数求导法

以求ax的导函数为例,使用对数求导法(伯努利求导法)以求a^x的导函数为例,使用对数求导法(伯努利求导法)以求ax的导函数为例,使用对数求导法(伯努利求导法)

y=axln⁡y=ln⁡ax=xln⁡a两边同时求导1yy′=ln⁡ay′=yln⁡a=axln⁡a即,(ax)′=axln⁡ay=a^x \\ \ln y=\ln a^x=x \ln a \\ 两边同时求导 \\ \frac{1}{y}y'=\ln a \\ y'=y\ln a=a^x \ln a \\ 即,(a^x)'=a^x \ln a y=axlny=lnax=xlna两边同时求导y1y′=lnay′=ylna=axlna即,(ax)′=axlna

导数表示法&导数记号系统

1Leibniz’s notation
- 1.1Leibniz’s notation for antidifferentiation
2Lagrange’s notation
- 2.1Lagrange’s notation for antidifferentiation
3Euler’s notation
- 3.1Euler’s notation for antidifferentiation
4Newton’s notation
- 4.1Newton’s notation for integration
5Partial derivatives
6Notation in vector calculus

莱布尼兹记号法

导数

反微分(积分)

拉格朗日记号法

导数

反微分

欧拉记号法

反微分

牛顿记号

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