二元函数洛必达求极限_由一类特殊的洛必达法则情形展开的讨论 —

大家好，我是韦心(๑╹◡╹)ﾉ”

下一次放假貌似要到清明节了。。。。。。又差不多是一个月看不到知乎，评论一样的会在假期时间处理。

今天我们来聊聊洛必达法则，之前看到很多人在问：“分离参数之后遇到'

'型能不能不用洛必达法则处理，有没有其他方法？”在此奉上一个我半年前的小发现，之前想写篇小论文来着，迫于时间问题以及我的表述不能十分严谨，于是放弃了这个打算，不过这个发现倒是十分有用，线下我教会了7~8名同学，反映的效果不错，在此分享给大家。

如有错误指出，欢迎各位在评论区指出或私信给我，有一些数学上面的问题也可以加我的群进行讨论，最后，你们的赞是我更新的最大动力♪(^∇^*)~

1 引言

中学阶段的学习中，在导数部分的学习，纵观近几年各省份的高考与模考题，有一类题型尤其令人注目，那便是已知值域求参数范围题型。目前在课内外比较受欢迎的一种解法便是分离参数法，把参数单独分离到不等式的一侧，对另一侧的多项式直接构造函数求极值，若极值在端点处取得，则引入洛必达法则对其求极限。那么，对于一般的高中生能不能有一种既简单又不需要太大高度的方法，巧妙的解决这一类题呢？下面通过一道例题来探求这类题型的相关规律：

例1：（2017 全国二卷理）设函数

（Ⅰ）讨论函数

的单调性；

（Ⅱ）当

时，

，求实数

的取值范围.

解：(Ⅰ）：

的定义域为

，令

，解得：

故：

在

单调递减，

在

单调递增.

(Ⅱ):未分离参数时，当

，有

，原不等式成立。

分离参数，有：

注意到右侧函数在

处为

型的不定式，下面应用洛必达法则：

故:

关于洛必达法则，如有不懂的同学先科普一下：

至于去心领域，我也截一张图说明：

下面给出一种我之后想到的“简易方法”：

由于

在

时恒成立，

当

时，左右两边都等于

，此时不等式成立。

因此当

,在

的右邻域左边函数的增长率应该小于或等于右边函数的增长率：

,即：

.从而

构造

当

时，

，

故

2 进一步讨论

在这里没有洛必达法则的出现，只是略微应用了一点点邻域的思想，但是如果平时向高中生解释这一点的话，不提起邻域这个词，人家也能听懂，因而这完全可视为一个高中知识范围内的好方法。

下面我们对该方法的原理进行进一步的讨论：

其实上面我省略了一部分应该分类讨论的步骤，在

的右邻域，我们一定可以推导出

，从而有解集

，但在

之后大部分范围我们是不能确定这个式子的，因而我们要对它进行分类讨论:

在

上，一直有

，即此时解集为

；

在

上，

有

使得

，

不过我们仍然要清楚小前提是必然有

，这是由当

时，

的大前提推导出来的。

故

的解集

必定是

的解集

的子集，

又因为此时

的解集

应该取

与

的交集。

故最后综合

，应取

与

的并集，即：当

时，解

得

由此，我们还可以推广出一个结论：

对于函数

和

在区间

上（其实只要区间有一个端点可取到就行，在此取闭区间是为了一次性说明），若有

，且

，则有

;

若有

，且

，则有

。

3 一个实例的分析
下面附上我们学校上个学期期末高三理数的一道压轴大题：

例2：（娄底市2018年下学期高三教学质量检测试卷）已知函数

（

为自然对数的底数，

为实数）.

(Ⅰ）若函数

在点

处的切线方程为

,求实数

的值；

(Ⅱ）若

，当

时，

.求实数

的取值范围.

解：(Ⅰ）

解得

或

，

(Ⅱ）法一（洛必达法则）：当

时，

当

时，左右两边都等于

，此时不等式成立。

因此当

分离参数，得：

，

注意到右侧函数在

处为

型的不定式，下面应用洛必达法则：

法二（邻域思想）：当

时，

，

当

时，左右两边都等于

，此时不等式成立。

因此当

，

当

时，左右两边都等于

，此时不等式成立。

因此当

，

由于上面法一、法二给出的都是

的上界，下面给出a的下界：

由于

因为

,故

综上所述，

我们可以注意到上面法一使用了洛必达法则两次，法二一样的对邻域思想也用了两次，；且使用洛必达法则时求的是当

的极限，邻域思想也是在

的邻域内讨论。由此我们不由得可以发现它们具有相关联的地方。

这里继续用（2017 全国二卷理）那题为例来说明：

在完全分离参数前，有当

，

我们知道在完全分离参数之后，

型的极限是在当

时取得；同样，这里的取等条件也是

洛必达法则对除式的分子分母分别求导，邻域思想对左侧右侧函数分别求导，依据求导的基本法则，参数（常数）

可以提出来。

还有就是参数

后面的函数的正负，无论是在完全分离参数后使用洛必达法则，还是在未完全分参运用邻域思想，它对不等号的方向都有着直接的影响。

因此，由上述，我们可以知道，邻域思想是洛必达法则

型未定式极限的一个特殊情形。希望大家能够认识到这一点。只不过邻域思想提供了一个更容易被人接受的“增长率”作为切入口，更容易被理解以及实际的解题书写运用。

4 关于洛必达法则的使用

不管是在线上还是线下，发现好多高中生都喜欢问，高考能不能用洛必达法则，会扣分吗？

在此我想说：用不用是你的事，用的有没有技巧性更是另一回事（如果大家能学会我的邻域思想，我觉得是可以完全取代高中范围对洛必达法则的需求的），至于扣分的问题，一旦你吧那几个字写出来，我想是个老师看到都会扣分的，下面给出一种简易的证明方法（以上面百度的为例）：

这里只是应用了导数的定义，没超纲。

还有，一些同学在使用洛必达法则的时候不太会注意使用的前提以及失效的条件，在此也提一下（这里应用 @酱紫君的一个优质回答）：

作者：酱紫君

洛必达法则失效的情况有哪些？www.zhihu.com

L'Hospital 何时失效并不是个有意义的问题...
废话,一个定理怎么可能会有错的时候,除非适用条件不满足乱套定理...
初中生高中生不懂乱用还可以原谅...都大学生了别和中学生一般见识...
=============================================
原理上洛必达法则适用的情况必定能用泰勒秒杀,用几次洛必达就用几阶泰勒灭之...
放心好了,运算量不会上天的,对一个复杂的复合函数求导绝对比连续展开两次泰勒运算量大...
泰勒法不像洛必达用前还要判定,烦得要死...跳过思考就是暴力干,适合我这种肝大无脑的玩家...
1.压根不是未定型...
洛必达法:

你若作死,便是晴天...这死法,我无话可说,不对,无可奉告...
----------------------------------------------------------
2.求导后的极限不存在

分子分母同时求导以后应该是双份的快乐啊,为什么会这样呢.....

人被杀...就会死...式子求导就狗带...秀了恩爱分得快...

----------------------------------------------------------
3.诈尸型

所谓的陷阱题,其实错误和上面一样的,不过比较隐蔽,因为刚开始明明是未定型,但是求导一次后就不是了,大多数碰得到的都是这种.
泰勒展法:

无脑过...诈尸?尸体烧了怎么输...

----------------------------------------------------------
4.循环型

泰勒法

我是函数式玩家...循环什么的...不存在的......

注意

的收敛域...

无穷远处展开式是

才对...

呃啊....记忆量好像变成了双倍啊.....
----------------------------------------------------------
5.吸收型

攻击反而给怪加血...我已经没有什么话可说的了...

泰勒也不好用,0点处本身无法展开,除非强行在无穷远处展开...

搞事情这是,取个倒数多简单的事...
----------------------------------------------------------
6.极端复杂型

傻子都看得出来出题人在凑阶,就是为了坑洛必达...事实上这道题要用6次洛必达...

如果你没背等价无穷小的话...泰勒总归背过吧...怎么着也比6次求导运算量小...
----------------------------------------------------------
7.变限积分

楼上又说变限积分不能用泰勒...开玩笑...

习题留作证明,不是,证明留作习题
所以有种强行的做法:

这个比较蛋疼...展开后还有取整函数(来自周期性)...

反正不是正常大学生该会的方法了...还是用几何法比较靠谱...
----------------------------------------------------------
8.抽象函数
暂时找不到例子,洛必达无能为力,但是泰勒法还是能过,直接设ax+bx^2+cO(x^3)然后凑个数,相当于高中的特殊值法...
===========================================
100金币能买到的神技....怎么看都是给五级新手玩家用的...
打打村口的史莱姆还可以...到外面面对各种Boss根本打不出伤害...
Update1:
我只是说可以用泰勒...没说只能用泰勒...毕竟泰勒还是记忆量很大的...
关键是我想找到一个万能方法解决所有初等的极限,不过这个想法破产了...
我碰到了几个反例...级数型...天生无法多项式展开...这是 Stolz 可以弥补一下...
无法展开的,收敛域够不着的...

...

0点能展开但是0点收敛域不能到达无穷远处,然后无穷远处本身又无法展开...
这个用一次洛必达后反而能做....

5 总结

本文通过对洛必达法则

型未定式极限进行讨论，从而总结出使用邻域思想巧妙解出该类参数范围的讨论题，在此还得重新说一下邻域思想的一个小优势：

如（娄底市2018年下学期高三教学质量检测试卷）那题，使用洛必达法则需要对参数

完全分离参数，用邻域思想可“半分参”，因而可以规避一些因而处理分离参数导致的计算错误。

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