滑动平均滤波器

为了理解级联积分梳状（CIC）滤波器，首先让我们了解滑动平均滤波器。
这种滤波器在时域上最大的特点就是所有的系数都相等，并且为常数。滤波器的输入输出关系可以表示为如下简单的算术平均关系

Y(n) = 1/N*(x(n) + x(n-1)+…… +x(n-(N-1)))
也就是说，滤波器当前时刻的输入等于当前时刻的输入与之前N-1个时刻输入的算术平均。很明显，这种滤波器在时域上看来是非常简单的，而且编程也非常方便。

滑动平均滤波器的幅频响应是:

%Moving Average filter
N = 10;%ÑÓÊ±
xn = sin(2*pi*[0:.1:10]); % n = [0:1:100];sin(2*pi*f*t)=sin(2*pi*f*T*n) => f = 1Hz, fs = 10Hz
hn = ones(1,N);%Âö³åÏìÓ¦
y1n = conv(xn,hn);%transfer function of Moving Average filter
hF = fft(hn,1024);
plot([-512:511]/1024,20*log10(abs(fftshift(hF))));
xlabel('Normalized frequency')
ylabel('Amplitude')
title('frequency response of Moving average filter')
grid on

滑动平均滤波器的递归实现

如上所示作为直接形式FIR类型实现的移动平均滤波器也可以以递归形式实现，它由一个梳状级组成，其输出是当前样本与前一个样本的差值，差值由积分器级连续累积，这些电路的行为与前面描述的移动平均滤波器相同。

由于系统是线性的，积分器和梳状器的位置可以互换。现在，使用一个小的 Matlab 代码片段让我们验证 CIC 实现的输出确实与移动平均滤波器获得的输出相同。

clc;clear all;close all;N = 10;
xn = sin(2*pi*[0:.1:10]);
hn = ones(1,N);
y1n = conv(xn,hn);% Implementing Cascaded Integrator Comb filter with the
% comb section following the integrator stage
N = 10;
delayBuffer = zeros(1,N);
intOut = 0;
xn = sin(2*pi*[0:.1:10]);
for ii = 1:length(xn)
% comb section
combOut = xn(ii) - delayBuffer(end);
delayBuffer(2:end) = delayBuffer(1:end-1);
delayBuffer(1) = xn(ii);% integrator
intOut = intOut + combOut;
y2n(ii) = intOut;
enderr12 = y1n(1:length(xn)) - y2n;
figure(1)
plot(err12)% Implementing Cascaded Integrator Comb filter with the
% integrator section following the comb stageN = 10;
delayBuffer = zeros(1,N);
intOut = 0;
xn = sin(2*pi*[0:.1:10]);
for ii = 1:length(xn)
% integrator
intOut = intOut + xn(ii);% comb section
combOut = intOut - delayBuffer(end);
delayBuffer(2:end) = delayBuffer(1:end-1);
delayBuffer(1) = intOut;
y3n(ii) = combOut;enderr13 = y1n(1:length(xn)) - y3n;
figure(2)
plot(err13)

y1n和y2n以及y1n和y3n的差别极小，说明这两种结构的输出是等效的

如上所述的 FIR 滤波器的递归实现有助于以更少的硬件实现相同的结果。

CIC抽取滤波器

通常，通过从每 D 个样本中抽取一个样本来实现抽取到较低的采样率。存在一个抗混叠滤波器以在抽取之前去除不需要的频谱。

如上所示，通过在积分器级和梳状器级之间设置抽取级可以实现相同的输出。这有助于减少梳状部分的延迟缓冲器深度要求。使用一个小的 Matlab 代码片段，让我们检查两个实现是否相同。

close all;clear all;clc;% For decimation, having the CIC filtering before taking every other sample
D = 2; % decimation factor
N = 10; % delay buffer depth
delayBuffer = zeros(1,N); % init
intOut = 0;
xn = sin(2*pi*[0:.1:10]);
y6n = [];
for ii = 1:length(xn)
% comb section
combOut = xn(ii) - delayBuffer(end);
delayBuffer(2:end) = delayBuffer(1:end-1);
delayBuffer(1) = xn(ii);
% integrator
intOut = intOut + combOut;
y6n = [y6n intOut];
end
y6n = y6n(1:D:end); % taking every other sample ¨C decimation
% For efficient hardware implementation of the CIC filter, having the
% integrator section first, decimate, then the comb stage
% Gain : Reduced the delay buffer depth of comb section from N to N/D
D = 2; % decimation factor
N = 10; % delay buffer depth
delayBuffer = zeros(1,N/D);
intOut = 0;
xn = sin(2*pi*[0:.1:10]); % input
y7n = []; % output
for ii = 1:length(xn)
% integrator
intOut = intOut + xn(ii);
if mod(ii,2)==1
% comb section
combOut = intOut - delayBuffer(end);
delayBuffer(2:end) = delayBuffer(1:end-1);
delayBuffer(1) = intOut;
y7n = [ y7n combOut];
end
end
err67 = y6n - y7n;
figure(2)
plot(err67)

y6n和y7n差别极小，说明这两种结构的输出是等效的

CIC插值滤波器

通常，通过在连续样本之间插入零然后过滤来实现更高采样率的插值。

如上所示，通过在梳状和积分器级之间设置上采样级可以实现相同的结果。这有助于减少梳状部分的延迟缓冲器深度要求。使用一个小的 Matlab 代码片段，让我们检查两个实现是否相同。

close all;clear all;clc% For interpolation, insert the zeros followed by CIC filtering
xn = sin(2*pi*[0:.1:10]);
I = 2; % interpolation factor
N = 10; % filter buffer depth
xUn = [xn; zeros(1,length(xn))];
xUn = xUn(:).'; % zeros inserted
delayBuffer = zeros(1,N);
intOut = 0;
for ii = 1:length(xUn)
% comb section
combOut = xUn(ii) - delayBuffer(end);
delayBuffer(2:end) = delayBuffer(1:end-1);
delayBuffer(1) = xUn(ii);
% integrator
intOut = intOut + combOut;
y4n(ii) = intOut;
end
% For efficient hardware implementation of CIC filter for interpolation, having
% the comb section, then zeros insertion, followed by integrator section
% Gain : Reduced the delay buffer depth of comb section from N to N/I
I = 2; % interpolation factor
N = 10; % original delay buffer depth
delayBuffer = zeros(1,N/I); % new delay buffer of N/I
intOut = 0;
xn = sin(2*pi*[0:.1:10]);
y5n = [];
for ii = 1:length(xn)
% comb section
combOut = xn(ii) - delayBuffer(end);
delayBuffer(2:end) = delayBuffer(1:end-1);
delayBuffer(1) = xn(ii);
% upsampling
combOutU = [ combOut zeros(1,1)];
for jj =0:I-1
% integrator
intOut = intOut + combOutU(jj+1);
y5n = [y5n intOut];
end
end
err45 = y4n - y5n;
plot(err45)

Y4n和y5n结果完全一致，说明这两种结构的输出是等效的

总结

可以看出CIC滤波器只不过是滑动平均滤波器的一个非常高效的迭代实现。以上是单级CIC滤波器，第一旁瓣和主瓣差值为13.36dB。那么要让阻带更大呢，当然可以通过级联CIC来实现，下一篇再讲

套用一句现在流行的话：
没有什么波是一个滤波器滤不掉的，如果不行，那就再来一个！

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