数论基本定理和欧拉广义降幂公式

一. 威尔逊定理

当p为素数时，（p-1）！= -1（mod p）

其逆定理也成立，移项得：（p-1)! + 1 整除 p

二. 费马小定理

当gcd（a，p）= 1且p为素数时，a ^（p-1）= 1（mod p）

而a ^ 0 = 1（mod p），因此存在长度为p-1的循环节，费马降幂：a ^ b mod p = a ^（b mod p-1）mod p

三. 欧拉定理

当gcd（a，m）= 1时，

为小于m且与m互质数的个数，费马小定理就是欧拉定理的一种特殊情况

四. 裴蜀定理

任意对两个整数 A，B，设d它们的最大公约数

当且仅当m是d的倍数时，ax + by = m才有整数解

扩展欧几里得算法求解即可

1）计算值

① 先说明函数是积性函数，对于积性函数，若gcd（m，n）= 1，则

②对于素数p，在1到p ^ k中p，2p，3p ......（p ^ k-1)，（k-1）个数与p ^ k不互质，因此

根据唯一分解定理，（pi为m的质因子），再根据上述两点得到

2）计算1到m所有数的欧拉值（欧拉筛+积性函数）

void Get_Eular()
{int n = 0;phi[1] = 1;  for(int i=2;i<maxn;++i){if(!phi[i])             //i为素数{phi[i] = i-1;       prime[n++] = i;}for(int j=0; j<n&&i*prime[j]<=maxn;++j){if(i%prime[j]==0){phi[i*prime[j]] = phi[i]*prime[j]; //i*prime[j]的素因子和i是一样的,只相当与上文中的m扩大了break;}else phi[i*prime[j]] = phi[i]*phi[prime[j]];//积性函数的性质，i与prime[j]互质}}
}

3）欧拉因子求和

假设n的因子为d1，d2 ...... di，则欧拉函数和，F（n）也是积性函数，对于素数p，那么p ^ k的因子就有p，p ^ 2，p ^ 3 ...... p ^ k，再结合公式②，得到，根据唯一分解定理,,有F（m）

4）互质数的和

在小于m的数中，与m互质的数的总和为： $\phi(m)*m/2$ ，首先要知道若n与m互质，则m-n与m互质，所以在m> 1时，与m互质的数总是一对一对的出现，且每一对的和为m，总共 $\phi(m)/2$ 对

5）欧拉广义降幂

不难发现：

当满足gcd（A，P）= 1时 ，，所以a^b:

（1）所以有：

（2）求 a ^ x % p，当 p 为质数时，如果 a 是 p 的倍数，直接输出0，否则可以直接降幂，即：x%phi(p)，因为此时gcd(a,p) = 1

四. 欧拉广义降幂应用

1. BZOJ 3884

描述：

解：

观察上面的欧拉降幂就会发现这是一个递归，当phi（）函数值为1时就递归结束，因为任何数对1取余都等于0，而幂为无穷，恒满足，所以：

代码：

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL Eular(LL p)   //计算p的欧拉值
{LL ans = p;for(int i=2;i*i<=p;++i){if(p%i==0){ans = ans - ans/i;while(p%i==0)p /= i;}}if(p>1) ans = ans - ans/p;return ans;
}
LL quick_pow(LL a,LL x,LL p)
{LL ans = 1;while(x){if(x&1) ans = ans*a%p;a = a * a % p;x >>= 1;}return ans;
}
LL cal(LL p)
{LL mod = Eular(p);if(mod==1) return quick_pow(2,0+1,p);return quick_pow(2,cal(mod)+mod,p);
}
int main()
{LL p,t;cin>>t;while(t--){cin>>p;cout<<cal(p)<<endl;}
}

五. 经典例题

1. HDU 2973 （威尔逊定理）

2. HDU 3501 （互质数的和）

3. ICPC焦作网络赛（费马降幂）

4. codefores （欧拉降幂）

5. HDU 3221（欧拉降幂）

6. 牛客网（裴蜀定理）

7. Codeforces Round＃454（Div.1）D.Power Tower（欧拉降幂）

六. 说明

关于F（n）的的积性函数的证明

关于披（N）的积性函数的证明

关于欧拉降幂的证明

个人认为证明过程没必要过多纠结！