第二十六章数论——欧拉函数（详解与证明）

欧拉函数
- 1、互质
- 2、欧拉函数的定义
- 3、欧拉函数的公式
- 4、欧拉函数的证明
- 5、欧拉函数的使用
- - （1）问题一：
  - - 思路
    - 代码
  - （2）问题二：
  - - 思路
    - - case1case1case1
      - case2case2case2
      - case3case3case3
    - 代码

欧拉函数

1、互质

如果gcd(a,b)=1gcd(a,b)=1gcd(a,b)=1，则说明两个数互质。即如果两个数最大公约数是1，那么这两个数就是互质的。
比如14和15

14的约数：1，2，7，14
15的约数：1，3，5，15

二者的最大公约数是1，即gcd(14,15)=1gcd(14,15)=1gcd(14,15)=1，所以14和15互质。

2、欧拉函数的定义

对于一个数nnn,从111到nnn中，与nnn互质的个数记作Φ(n)\Phi (n)Φ(n)，那么这个Φ(n)\Phi (n)Φ(n)就i被称作欧拉函数。

比如：
Φ(6)=2\Phi (6)=2Φ(6)=2

因为，

1,2,3,4,5,6中与6互质的是1和5。

3、欧拉函数的公式

根据算数基本定理，该合数可以写成有限个质数的乘积，即：

n=p1k∗p2m∗p3x...pnwn=p_1^k*p_2^m*p_3^x...p_n^wn=p1k∗p2m∗p3x...pnw

那么Φ(n)=n∗(p1−1p1)∗(p2−1p2)∗...∗(pn−1pn)\Phi (n)=n*(\frac{p_1-1}{p_1})*(\frac{p_2-1}{p2})*...*(\frac{p_n-1}{p_n})Φ(n)=n∗(p1p1−1)∗(p2p2−1)∗...∗(pnpn−1)

这就是著名的欧拉函数。

我们可以验证一下：

6=2∗36=2*36=2∗3

Φ(6)=6∗2−12∗3−13=2\Phi (6)=6*\frac{2-1}{2}*\frac{3-1}{3}=2Φ(6)=6∗22−1∗33−1=2

特殊地，

如果一个数是质数，我假设这个质数是ppp，质数的算数基本定理的表达式就是本身，所以

Φ(p)=p∗(p−1p)=p−1\Phi (p)=p*(\frac{p-1}{p})=p-1Φ(p)=p∗(pp−1)=p−1

所以，如果一个数是质数，那么这个数ppp:
Φ(p)=p−1\Phi (p)=p-1Φ(p)=p−1

那么这个函数怎么证明呢？

我们继续向下看:

4、欧拉函数的证明

5、欧拉函数的使用

（1）问题一：

思路

现在问题的关键其实就是质因数的分解，而质因数的分解，作者在前面的文章详细讲解过分解方式：

传送门：质因数的分解

代码

#include<iostream>
using namespace std;long long phi(int a)
{long long ans=a;for(int i=2;i<=a/i;i++){if(a%i==0)ans=ans*(i-1)/i;while(a%i==0)a/=i;}if(a>1)ans=ans*(a-1)/a;return ans;
}int main()
{int n;cin>>n;for(int i=0;i<n;i++){int a;scanf("%d",&a);cout<<phi(a)<<endl;}return 0;
}

（2）问题二：

思路

这道题的关键在于求出1到n之间的每个数字的欧拉函数之和，那么我们可以将1到n之间的数字分成三类：

case1case1case1

Φ(1)=1\Phi (1)=1Φ(1)=1

case2case2case2

Φ(质数)=质数−1\Phi(质数)=质数-1Φ(质数)=质数−1

case3case3case3

合数的话，则需要分解质因数计算求解。
Φ(n)=n∗(p1−1p1)∗(p2−1p2)∗...∗(pn−1pn)\Phi (n)=n*(\frac{p_1-1}{p_1})*(\frac{p_2-1}{p2})*...*(\frac{p_n-1}{p_n})Φ(n)=n∗(p1p1−1)∗(p2p2−1)∗...∗(pnpn−1)

涉及到数的筛选问题：

我们可以联想到之前所学的两种筛法：埃氏筛法和欧拉筛法

不了解这两个筛法的同学建议先去看一下作者之前的讲解：

埃氏筛法和欧拉筛法

我们这里采用欧拉筛法。

那么欧拉筛和欧拉函数怎么结合求呢？

首先我们根据欧拉函数公式：

Φ(n)=n∗(p1−1p1)∗(p2−1p2)∗...∗(pn−1pn)\Phi (n)=n*(\frac{p_1-1}{p_1})*(\frac{p_2-1}{p2})*...*(\frac{p_n-1}{p_n})Φ(n)=n∗(p1p1−1)∗(p2p2−1)∗...∗(pnpn−1)

可以知道，结果只和质数本身有关，和他的指数是无关的。

另外，我们的欧拉筛是用来筛质数的，质数的欧拉函数也是很好求的，那么我们思考一下：

能否用质数的欧拉函数结果去求解合数的欧拉函数？

primes[j]primes[j]primes[j]是质数，所以我们的Φ(primes[j])=primes[j]−1\Phi(primes[j])=primes[j]-1Φ(primes[j])=primes[j]−1

我们欧拉筛的第二层循环中，我们存在这样一个判断 imodprimes[j]是否等于0i\ mod\ primes[j]是否等于0i mod primes[j]是否等于0

第一种情况：imodprimes[j]==0第一种情况：i\ mod\ primes[j]==0第一种情况：i mod primes[j]==0

这个判断说明，primes[j]primes[j]primes[j]是iii的一个质因数。

也就是说，Φ(i)\Phi(i)Φ(i)中存在一项(1−1primes[j])(1-\frac{1}{primes[j]})(1−primes[j]1)

而我们假设k=i∗primes[j]k=i*primes[j]k=i∗primes[j]，那么kkk的算数基本定理的表达式当中只是比iii的表达式中，primes[j]primes[j]primes[j]的这一项所对的指数加了1而已。

也就是说，

i∗primes[j]i*primes[j]i∗primes[j]和iii所含的质因数种类是相同的。

所以二者的欧拉函数中，后面的多项式乘积都是一样的，只是前面的系数nnn不同，因此我们可以得到下面的结论。

Φ(i∗primes[j])=primes[j]∗Φ(i)\Phi(i*primes[j])=primes[j]*\Phi(i)Φ(i∗primes[j])=primes[j]∗Φ(i)

第二种情况：imodprimes[j]!=0第二种情况：i\ mod\ primes[j]!=0第二种情况：i mod primes[j]!=0

因为，primes[j]primes[j]primes[j]不是iii的质因数，但是primes[j]primes[j]primes[j]却是primes[j]∗iprimes[j]*iprimes[j]∗i的质因数。

此时就说明，primes[j]∗iprimes[j]*iprimes[j]∗i的算术基本定理的表达式中比iii的算数基本定理中多了一项primes[j]primes[j]primes[j]

所以，此时Φ(i∗primes[j])\Phi(i*primes[j])Φ(i∗primes[j])比Φ(i)\Phi(i)Φ(i)不仅系数多了一个primes[j]primes[j]primes[j]，同时，由于前者的质因数多了一个，所以还多了一项(1−1primes[j])(1-\frac{1}{primes[j]})(1−primes[j]1)

所以：

Φ(i∗primes[j])=primes[j]∗Φ(i)∗(1−1primes[j])=(primes[j]−1)∗Φ(i)\Phi(i*primes[j])=primes[j]*\Phi(i)*(1-\frac{1}{primes[j]})=(primes[j]-1)*\Phi(i)Φ(i∗primes[j])=primes[j]∗Φ(i)∗(1−primes[j]1)=(primes[j]−1)∗Φ(i)

所以根据上面三种情况，我们可以将其融合到我们的欧拉筛中。

代码

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
int primes[N],cnt;
int euler[N];
bool st[N];
void get_eulers(int n)
{euler[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){if(!st[i]){primes[cnt++]=i;euler[i]=i-1;}for(int j=0;primes[j]<=n/i;j++){st[i*primes[j]]=true;if(i%primes[j]==0){euler[i*primes[j]]=primes[j]*euler[i];break;}euler[i*primes[j]]=(primes[j]-1)*euler[i];}}
}
int main()
{int n;cin>>n;get_eulers(n);long long res=0;for(int i=1;i<=n;i++){res+=euler[i];}cout<<res<<endl;return 0;
}

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