数论 - 分解质因数+欧拉函数 - Relatives POJ

数论 - 分解质因数+欧拉函数

文章目录

数论 - 分解质因数+欧拉函数
- 一、分解质因数
- 二、欧拉函数
- 三、模板： Relatives POJ - 2407

一、分解质因数

由算术基本定理，任何一个大于 1 的自然数 N ，如果 N 不为质数，那么 N 可以唯一分解成有限个质数的乘积 N = P 1 a 1 P 2 a 2 P 3 a 3 . . . . . . P n a n ，这里 P 1 < P 2 < P 3 . . . . . . < P n 均为质数，其中指数 a i 是正整数。现给定一个正整数 n ，可以以小于 O ( n ) 的时间复杂度得到其所有的质因子及每个质因子对应的幂。即得到 P 1 , P 2 , . . . , P n 和 a 1 , a 2 , . . . , a n 。同质数判定的方法类似，需要另外注意两点： ① 、依然是 i 从 2 开始枚举每个质因子，每次枚举到一个质因子就从 n 中把 i 除尽，这样可以保证合数因子被除掉。 ② 、对任意的 n ，至多仅有一个大于 n 的质因子。因为显然假设大于 n 的质因子数量大于等于 2 ，那么这两个质因子乘积必然大于 n 。有了上面这个性质，我们每次枚举质因子 i ，只需要循环到 n i 次即可，若最后 n > 1 ，说明存在一个比 n 大的质因子，就是此时的 “ n ” 。由于每次枚举一个 i ，会把 n 中的 i 因子除尽，总的时间复杂度是介于 O ( l o g 2 n ) − O ( n ) 之间的。由算术基本定理，任何一个大于1的自然数 N，如果N不为质数，\\那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积N=P_1^{a_1}P_2^{a_2}P_3^{a_3}......P_n^{a_n}，\\这里P_1<P_2<P_3......<P_n均为质数，其中指数a_i是正整数。\\ \ \\现给定一个正整数n，可以以小于O(\sqrt{n})的时间复杂度得到其所有的质因子及每个质因子对应的幂。\\即得到P_1,P_2,...,P_n和a_1,a_2,...,a_n。\\ \ \\同质数判定的方法类似，需要另外注意两点：\\① 、依然是i从2开始枚举每个质因子，每次枚举到一个质因子就从n中把i除尽，这样可以保证合数因子被除掉。\\ \ \\②、对任意的n，至多仅有一个大于\sqrt{n}的质因子。\\因为显然假设大于\sqrt{n}的质因子数量大于等于2，那么这两个质因子乘积必然大于n。\\ \ \\有了上面这个性质，我们每次枚举质因子i，只需要循环到\frac{n}{i}次即可，\\若最后n>1，说明存在一个比\sqrt{n}大的质因子，就是此时的“n”。\\由于每次枚举一个i，会把n中的i因子除尽，总的时间复杂度是介于O(log_2n)-O(\sqrt{n})之间的。由算术基本定理，任何一个大于1的自然数N，如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积N=P1a1P2a2P3a3......Pnan，这里P1<P2<P3......<Pn均为质数，其中指数ai是正整数。现给定一个正整数n，可以以小于O(n )的时间复杂度得到其所有的质因子及每个质因子对应的幂。即得到P1,P2,...,Pn和a1,a2,...,an。同质数判定的方法类似，需要另外注意两点：①、依然是i从2开始枚举每个质因子，每次枚举到一个质因子就从n中把i除尽，这样可以保证合数因子被除掉。 ②、对任意的n，至多仅有一个大于n 的质因子。因为显然假设大于n 的质因子数量大于等于2，那么这两个质因子乘积必然大于n。有了上面这个性质，我们每次枚举质因子i，只需要循环到in次即可，若最后n>1，说明存在一个比n 大的质因子，就是此时的“n”。由于每次枚举一个i，会把n中的i因子除尽，总的时间复杂度是介于O(log2n)−O(n )之间的。

例题：

给定n个正整数ai，将每个数分解质因数，并按照质因数从小到大的顺序输出每个质因数的底数和指数。

输入格式
第一行包含整数n。

接下来n行，每行包含一个正整数ai。

输出格式
对于每个正整数ai,按照从小到大的顺序输出其分解质因数后，每个质因数的底数和指数，每个底数和指数占一行。

每个正整数的质因数全部输出完毕后，输出一个空行。

数据范围
1≤n≤100,
1≤ai≤2∗10⁹

输入样例：
2
6
8输出样例：
2 1
3 12 3

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;int n,x;
void divide(int x)
{for(int i=2;i<=x/i;i++)if(x%i==0){int cnt=0;while(x%i==0){x/=i;cnt++;}cout<<i<<" "<<cnt<<endl;}if(x>1) cout<<x<<" "<<1<<endl;cout<<endl;
}int main()
{cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>x;divide(x);}return 0;
}

二、欧拉函数

对于正整数 n ，用欧拉函数能够求得 [ 1 , n − 1 ] 中与 n 互质的数的个数。对正整数 n = p 1 a 1 p 2 a 2 . . . p n a n ，欧拉函数 ϕ ( n ) = n ( 1 − 1 p 1 ) ( 1 − 1 p 2 ) . . . ( 1 − 1 p n ) ，其中 , p 1 , p 2 , . . . , p n 是 n 的质因子。原理：直白地讲， p i 是 n 的任意质因子，设 [ 1 , n ] 中，是 p i 的倍数的数 ( p i , 2 p i , . . . ) 的个数是 a i ，那么 [ 1 , n − 1 ] 中与 n 互质的数的个数 = n − ∑ a i ，而 a i = n p i ，借助容斥原理得到的式子即 ϕ ( n ) 乘积展开的式子。求正整数 n 的欧拉函数，我们可以利用分解质因数的方法求得 n 的所有质因子，再代入公式即可。时间复杂度仍然是小于 O ( n ) 的。对于正整数n，用欧拉函数能够求得[1,n-1]中与n互质的数的个数。\\ \ \\对正整数n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_n^{a_n}，欧拉函数\phi(n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_n})，其中,p_1,p_2,...,p_n是n的质因子。\\ \ \\原理：直白地讲，p_i是n的任意质因子，设[1,n]中，是p_i的倍数的数(p_i,2p_i,...)的个数是a_i，\\ \ \\那么[1,n-1]中与n互质的数的个数=n-\sum a_i，而a_i=\frac{n}{p_i}，借助容斥原理得到的式子即\phi(n)乘积展开的式子。\\ \ \\求正整数n的欧拉函数，我们可以利用分解质因数的方法求得n的所有质因子，再代入公式即可。\\时间复杂度仍然是小于O(\sqrt{n})的。对于正整数n，用欧拉函数能够求得[1,n−1]中与n互质的数的个数。对正整数n=p1a1p2a2...pnan，欧拉函数ϕ(n)=n(1−p11)(1−p21)...(1−pn1)，其中,p1,p2,...,pn是n的质因子。原理：直白地讲，pi是n的任意质因子，设[1,n]中，是pi的倍数的数(pi,2pi,...)的个数是ai，那么[1,n−1]中与n互质的数的个数=n−∑ai，而ai=pin，借助容斥原理得到的式子即ϕ(n)乘积展开的式子。求正整数n的欧拉函数，我们可以利用分解质因数的方法求得n的所有质因子，再代入公式即可。时间复杂度仍然是小于O(n )的。

例题：

给定n个正整数ai，请你求出每个数的欧拉函数。

输入格式
第一行包含整数n。

接下来n行，每行包含一个正整数ai。

输出格式
输出共n行，每行输出一个正整数ai的欧拉函数。

数据范围
1≤n≤100,
1≤ai≤2∗10⁹

输入样例：
3
3
6
8
输出样例：
2
2
4

注意：

为了避免计算过程中小数的出现，将 n ( 1 − 1 p i ) 转化为 n / p i × ( p i − 1 ) 。为了避免计算过程中小数的出现，将n(1-\frac{1}{p_i})转化为n/p_i×(p_i-1)。为了避免计算过程中小数的出现，将n(1−pi1)转化为n/pi×(pi−1)。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;int n,a;int main()
{cin>>n;while(n--){cin>>a;int ans=a;for(int i=2;i<=a/i;i++){if(a%i==0){ans=ans/i*(i-1);while(a%i==0) a/=i;}}if(a>1) ans=ans/a*(a-1);cout<<ans<<endl;}return 0;
}

三、模板： Relatives POJ - 2407

题意：

给定正整数 n ，输出 [ 1 , n − 1 ] 内，与 n 互质的数的个数。 0 为输入结尾。给定正整数n，输出[1,n-1]内，与n互质的数的个数。0为输入结尾。给定正整数n，输出[1,n−1]内，与n互质的数的个数。0为输入结尾。

Sample Input：
7
12
0Sample Output：
6
4

数据范围：

n < = 1 0 9 , T i m e l i m i t ： 1000 m s ， M e m o r y l i m i t ： 65536 k B n<=10^9,\\Time\ limit：1000 ms，Memory\ limit：65536 kB n<=109,Time limit：1000ms，Memory limit：65536kB

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;int n;
int euler(int n)
{int res=n;for(int i=2;i<=n/i;i++){if(n%i==0){res=res/i*(i-1);while(n%i==0) n/=i;}}if(n>1) res=res/n*(n-1);return res;
}int main()
{while(~scanf("%d",&n),n)printf("%d\n",euler(n));return 0;
}