为何欧拉的质数公式会扰乱世界？

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质数是现代加密学的基础。

原因很简单：到目前为止，人类还不了解它们的数学本质。但是，一旦揭开质数的神秘面纱，世界将发生巨大变化。

今天，小芯将介绍一些鲜为人知但令人敬畏的质数特性，它可能会改变人类对密码学的看法。

无需担心，内容不长，易于理解，操作性强。

图源：齐伦（F. Zielen） (欧拉原画：J. E.·汉德曼作)

刷新与动机

让我们回顾一下：质数是整数，只能被1或数字本身整除。例如：5是质数（除数1和5），但6不是质数（除数1，2，3和6）。

存在无限个质数，但到目前为止，尚无有效的算法来确定其数量。特别是，没有计算第n个质数的公式，也没有递归的方法，“递归”指的是如果知道前面的（较小的）质数，就可以计算质数；而在有公式的前提下，无需知道前面的质数就能直接计算。

由此一来，著名的RSA密码系统就十分安全。加密所需的公钥基于两个（很大）质数的乘积。如果要导出解密所需的私钥，则“仅”需要确定该乘积的质因素。但目前，这需要花费大量计算时间，因此在现实操作中，RSA无法解锁。

但是，如果人类发现了即刻计算质数的公式，将会发生什么？可能将研究出快速分解质数的方法，这意味着当今大多数密码系统大限将至。然而，质数公式真的存在吗？

令人惊叹的欧拉乘积

莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）是有史以来世界上最杰出的数学家之一。在18世纪，他推导出了如今被称为“欧拉乘积”的公式。本文将重点介绍他开拓性发现的特殊案例。即使下文乍一看像象形文字，也请继续阅读。

欧拉乘积

进行公式转换：等式左侧的符号代表乘积。而且，它是所有质数的无限乘积，即需要用所有质数替换变量p并乘以项。如下图所示。

欧拉乘积的第一个因子

这意味着：如果计算上述所有质数的乘积，将得到明确的结果pi²/ 6。太神奇了，感觉像个谜。请让笔者告诉你原因。

颠覆性结果

人类知道有无限的质数，但是没有能封闭且有效表示质数的形式（“公式”）。有了计算能力，人类就可以确定已知的最大质数。尽管如此，欧拉已经证明，如果根据欧拉乘积将所有质数相乘，将获得pi²/ 6值——尽管不知道所有质数！

恕笔者直言，这表明到目前为止人类对质数的了解不够充分。如果可以在无穷多个质数上计算出欧拉乘积，那么也应该能够导出质数公式。例如，对于特殊质数，封闭式表示是已知的。

这表明，人类必须加大数字理论研究的力度，发现质数的真实本质。而能解开谜团的人，既可能受到祝贺，也可能受到迫害。

来源：Pexels

不知道这样一个古板的话题能否得到大家的喜爱？

小芯只是业余数论爱好者，若有不足之处，欢迎大家留言指正。

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编译组：王馨、高荣蔚

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