文章目录

FFT的由来
- 降低运算量的途径
基2FFT算法
- 时域抽取基2FFT算法
- - 第一次分解
  - 第二次分解
  - 蝶形运算
  - DIT-FFT与直接计算DFT运算量比较
- 频域抽取基2FFT算法
IDFT的快速算法
- 旋转因子指数变极性法
- 直接调用FFT子程序：方法1
- 直接调用FFT子程序：方法2

FFT的由来

DFT的计算量

因此当N比较大时，计算量太大，所以在快速傅里叶变换出现以前，直接用DFT算法进行谱分析和信号的实时处理是不切实际的

降低运算量的途径

把N点DFT分解为几个较短的DDFT，可使乘法次数大大减少，另外，利用旋转因子WNmW_N^mWNm的周期性、对称性和可约性来减少DFT的运算次数
WNm+lN=e−j2πN(m+lN)=e−j2πN(m)<−周期性W_N^{m+lN}=e^{-j\frac{2\pi}N(m+lN)}=e^{-j\frac{2\pi}N(m)}<-周期性 WNm+lN=e−jN2π(m+lN)=e−jN2π(m)<−周期性

WN−m=WNN−m,[WNN−m]∗=WNm,WNm+N2=−WNm<−对称性W_N^{-m}=W_N^{N-m},[W_N^{N-m}]*=W_N^{m},W_N^{m+\frac N2}=-W_N^m<-对称性 WN−m=WNN−m,[WNN−m]∗=WNm,WNm+2N=−WNm<−对称性

WNm=WN/nm/n,N/n,m/n为整数<−可约性W_N^m=W_{N/n}^{m/n},N/n,m/n为整数<-可约性 WNm=WN/nm/n,N/n,m/n为整数<−可约性

基2FFT算法

设序列点数N=2LN=2^LN=2L，L为正整数。若不满足，则补零，使N为2的整数幂的FFT算法称为基-2FFT算法

基2时间抽取DIT-FFT
x(n)−>{x(2r)x(2r+1)r=0,1,...N2−1x(n)->\begin{cases} x(2r)\\x(2r+1) \end {cases}r=0,1,...\frac N2-1 x(n)−>{x(2r)x(2r+1)r=0,1,...2N−1
基2频域抽取DIF-FFT
X(k)−>{X(2m)X(2m+1)m=0,1,...,N2−1X(k)->\begin{cases}X(2m)\\X(2m+1) \end{cases}m=0,1,...,\frac N2-1 X(k)−>{X(2m)X(2m+1)m=0,1,...,2N−1

时域抽取基2FFT算法

第一次分解

将序列x(n)按n的奇偶分两组
{x(2r)=x1(r)x(2r+1)=x2(r)r=0,1,...N2−1\begin{cases} x(2r)=x_1(r)\\x(2r+1)=x_2(r) \end {cases}r=0,1,...\frac N2-1 {x(2r)=x1(r)x(2r+1)=x2(r)r=0,1,...2N−1
X(k)=DFT[x(n)]=∑n=0N−1x(n)WNnk=∑n=evenx(n)WNkn+∑n=oddx(n)WNknX(k)=DFT[x(n)]=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{nk}=\sum_{n=even}x(n)W_N^{kn}+\sum_{n=odd}x(n)W_N^{kn}X(k)=DFT[x(n)]=∑n=0N−1x(n)WNnk=∑n=evenx(n)WNkn+∑n=oddx(n)WNkn

=∑r=0N2−1x(2r)WN2kr+∑r=0N2−1x(2r+1)WNk(2r+1)=\sum_{r=0}^{\frac N2-1}x(2r)W_N^{2kr}+\sum_{r=0}^{\frac N2-1}x(2r+1)W_N^{k(2r+1)}=∑r=02N−1x(2r)WN2kr+∑r=02N−1x(2r+1)WNk(2r+1)

=∑r=0N2−1x1(r)WN2kr+WNk∑r=0N2−1x2(r)WN2kr=\sum_{r=0}^{\frac N2-1}x_1(r)W_N^{2kr}+W_N^{k}\sum_{r=0}^{\frac N2-1}x_2(r)W_N^{2kr}=∑r=02N−1x1(r)WN2kr+WNk∑r=02N−1x2(r)WN2kr

=∑r=0N2−1x1(r)WN2kr+WNk∑r=0N2−1x2(r)WN2kr=\sum_{r=0}^{\frac N2-1}x_1(r)W_{\frac N2}^{kr}+W_N^{k}\sum_{r=0}^{\frac N2-1}x_2(r)W_{\frac N2}^{kr}=∑r=02N−1x1(r)W2Nkr+WNk∑r=02N−1x2(r)W2Nkr

因为X1(k)=∑r=0N2−1x1(r)WN2kr=DFT[x1(r)],X2(k)=∑r=0N2−1x2(r)WN2kr=DFT[x2(r)]X_1(k)=\sum_{r=0}^{\frac N2-1}x_1(r)W_{\frac N2}^{kr}=DFT[x_1(r)],X_2(k)=\sum_{r=0}^{\frac N2-1}x_2(r)W_{\frac N2}^{kr}=DFT[x_2(r)]X1(k)=∑r=02N−1x1(r)W2Nkr=DFT[x1(r)],X2(k)=∑r=02N−1x2(r)W2Nkr=DFT[x2(r)]

所以上式=X1(k)+WNkX2(k),k=0,1,..N/2−1=X_1(k)+W_N^{k}X_2(k),k=0,1,..N/2-1=X1(k)+WNkX2(k),k=0,1,..N/2−1

∵X(k)=X1(k)+WNkX2(k),0≤k≤N−1\because X(k)=X_1(k)+W_N^{k}X_2(k),0\leq k\leq N-1∵X(k)=X1(k)+WNkX2(k),0≤k≤N−1

上式只是求出0≤k≤N2−10\leq k\leq \frac N2-10≤k≤2N−1时的X(k)，即前半部分的X(k)，对于N2≤k≤N\frac N2\leq k\leq N2N≤k≤N如何求？

利用周期性求X(k)的后半部分

∵X1(k),X2(k)是以N/2为周期的\because X_1(k),X_2(k)是以N/2为周期的∵X1(k),X2(k)是以N/2为周期的

∴X1(k+N2)=X1(k),X2(k+N2)=X2(k)\therefore X_1(k+\frac N2)=X_1(k),X_2(k+\frac N2)=X_2(k)∴X1(k+2N)=X1(k),X2(k+2N)=X2(k)

又WNk+N2=WNN2WNk=−WNkW_N^{k+\frac N2}=W_N^{\frac N2}W_N^k=-W_N^kWNk+2N=WN2NWNk=−WNk，所以后半个序列的求法如下：
X(k+N/2)=X1(k+N/2)+WNk+N/2X2(k+N/2)=X1(k)−WNkX2(k),0≤k≤N2−1X(k+N/2)=X_1(k+N/2)+W_N^{k+N/2}X_2(k+N/2)=X_1(k)-W_N^kX_2(k),0\leq k\leq \frac N2-1 X(k+N/2)=X1(k+N/2)+WNk+N/2X2(k+N/2)=X1(k)−WNkX2(k),0≤k≤2N−1

第二次分解

X1(k)=∑l=0N/4−1x1(2l)WN/22kl+∑l=0N/4−1x1(2l+1)WN/2k(2l+1)X_1(k)=\sum_{l=0}^{N/4-1}x_1(2l)W_{N/2}^{2kl}+\sum_{l=0}^{N/4-1}x_1(2l+1)W_{N/2}^{k(2l+1)}X1(k)=∑l=0N/4−1x1(2l)WN/22kl+∑l=0N/4−1x1(2l+1)WN/2k(2l+1)

=∑l=0N/4−1x3(l)WN/4kl+WN/2k∑l=0N/4−1x4(l)WN/4kl=\sum_{l=0}^{N/4-1}x_3(l)W_{N/4}^{kl}+W_{N/2}^k\sum_{l=0}^{N/4-1}x_4(l)W_{N/4}^{kl}=∑l=0N/4−1x3(l)WN/4kl+WN/2k∑l=0N/4−1x4(l)WN/4kl

=X3(k)+WN/2kX4(k),0≤k≤N/4−1=X_3(k)+W_{N/2}^kX_4(k),0\leq k\leq N/4-1=X3(k)+WN/2kX4(k),0≤k≤N/4−1

X1(k)=X3(k)+WN/2kX4(k),0≤k≤N/4−1X_1(k)=X_3(k)+W_{N/2}^kX_4(k),0\leq k\leq N/4-1X1(k)=X3(k)+WN/2kX4(k),0≤k≤N/4−1

X1(k+N/4)=X3(k)−WN/2kX4(k),0≤k≤N/4−1X_1(k+N/4)=X_3(k)-W_{N/2}^kX_4(k),0\leq k\leq N/4-1X1(k+N/4)=X3(k)−WN/2kX4(k),0≤k≤N/4−1

X2(k)=X5(k)+WN/2kX6(k),0≤k≤N/4−1X_2(k)=X_5(k)+W_{N/2}^kX_6(k),0\leq k\leq N/4-1X2(k)=X5(k)+WN/2kX6(k),0≤k≤N/4−1

X2(k+N/4)=X5(k)−WN/2kX6(k),0≤k≤N/4−1X_2(k+N/4)=X_5(k)-W_{N/2}^kX_6(k),0\leq k\leq N/4-1X2(k+N/4)=X5(k)−WN/2kX6(k),0≤k≤N/4−1

其中

x3(l)=x1(2l),0≤l≤N/4−1x_3(l)=x_1(2l),0\leq l\leq N/4-1x3(l)=x1(2l),0≤l≤N/4−1

x4(l)=x1(2l+1),0≤l≤N/4−1x_4(l)=x_1(2l+1),0\leq l\leq N/4-1x4(l)=x1(2l+1),0≤l≤N/4−1

X3(k)=∑l=0N/4−1x3(l)WN/4kl=DFT[x3(l)]X_3(k)=\sum_{l=0}^{N/4-1}x_3(l)W_{N/4}^{kl}=DFT[x_3(l)]X3(k)=∑l=0N/4−1x3(l)WN/4kl=DFT[x3(l)]

X4(k)=∑l=0N/4−1x4(l)WN/4kl=DFT[x4(l)]X_4(k)=\sum_{l=0}^{N/4-1}x_4(l)W_{N/4}^{kl}=DFT[x_4(l)]X4(k)=∑l=0N/4−1x4(l)WN/4kl=DFT[x4(l)]

x5(l)=x2(2l),0≤l≤N/4−1x_5(l)=x_2(2l),0\leq l\leq N/4-1x5(l)=x2(2l),0≤l≤N/4−1

x6(l)=x2(2l+1),0≤l≤N/4−1x_6(l)=x_2(2l+1),0\leq l\leq N/4-1x6(l)=x2(2l+1),0≤l≤N/4−1

X5(k)=∑l=0N/4−1x5(l)WN/4kl=DFT[x5(l)]X_5(k)=\sum_{l=0}^{N/4-1}x_5(l)W_{N/4}^{kl}=DFT[x_5(l)]X5(k)=∑l=0N/4−1x5(l)WN/4kl=DFT[x5(l)]

X6(k)=∑l=0N/4−1x6(l)WN/4kl=DFT[x6(l)]X_6(k)=\sum_{l=0}^{N/4-1}x_6(l)W_{N/4}^{kl}=DFT[x_6(l)]X6(k)=∑l=0N/4−1x6(l)WN/4kl=DFT[x6(l)]

蝶形运算

⇒\Rightarrow⇒

蝶形单元需要一次复数乘法，两次复数加法

利用蝶形运算得到N=8点时的DIT-FFT运算流图

分析：N点DIT-FFT包含

M级蝶形运算，每一级包含N/2个蝶形单元

一个蝶形单元需要一次复数乘法，两次复数加法，因此：

CM=M⋅N2=N2log2N,CA=M⋅N2×2=Nlog2NC_M=M\cdot \frac N2=\frac N2log_2N,C_A=M\cdot \frac N2×2=Nlog_2NCM=M⋅2N=2Nlog2N,CA=M⋅2N×2=Nlog2N

DIT-FFT与直接计算DFT运算量比较

直接计算： 需要N2N^2N2次复数乘法，N(N-1)次复数加法

DIT-FFT{CM=M⋅N2=N2log2N复数乘法CA=M⋅N2×2=Nlog2N复数加法\begin{cases} C_M=M\cdot \frac N2=\frac N2log_2N&复数乘法\\ C_A=M\cdot \frac N2×2=Nlog_2N&复数加法 \end{cases}{CM=M⋅2N=2Nlog2NCA=M⋅2N×2=Nlog2N复数乘法复数加法

加速：R=N2(N/2)log2N=2Nlog2NR=\frac {N^2}{(N/2)log_2N}=\frac{2N}{log_2N}R=(N/2)log2NN2=log2N2N

MATLAB快速傅里叶变换调用格式：Xk=fft(xn,N)Xk=fft(xn,N)Xk=fft(xn,N)

频域抽取基2FFT算法

x(n)，N=2MN=2^MN=2M，M为正整数

按序列号n的自然排序将x(n)前后对半分

X(k)=DFT[x(n)]=∑n=0N−1x(n)WNnk=∑n=0N/2−1x(n)WNnk+∑n=N/2N−1x(n)WNnkX(k)=DFT[x(n)]=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{nk}=\sum_{n=0}^{N/2-1}x(n)W_N^{nk}+\sum_{n=N/2}^{N-1}x(n)W_N^{nk}X(k)=DFT[x(n)]=∑n=0N−1x(n)WNnk=∑n=0N/2−1x(n)WNnk+∑n=N/2N−1x(n)WNnk

=∑n=0N/2−1x(n)WNnk+∑n=0N/2−1x(n+N2)WNk(n+N/2)=\sum_{n=0}^{N/2-1}x(n)W_N^{nk}+\sum_{n=0}^{N/2-1}x(n+\frac N2)W_N^{k(n+N/2)}=∑n=0N/2−1x(n)WNnk+∑n=0N/2−1x(n+2N)WNk(n+N/2)

=∑n=0N/2−1[x(n)+WNkN/2x(n+N2)]WNkn=\sum_{n=0}^{N/2-1}[x(n)+W_N^{kN/2}x(n+\frac N2)]W_N^{kn}=∑n=0N/2−1[x(n)+WNkN/2x(n+2N)]WNkn

∵WNkN/2=e−j2πNkN2=e−jkπ={1k=even(偶数)−1k=odd(奇数)\because W_N^{kN/2}=e^{-j\frac{2\pi}Nk\frac N2}=e^{-jk\pi}=\begin{cases}1&k=even(偶数)\\-1&k=odd(奇数)\end{cases}∵WNkN/2=e−jN2πk2N=e−jkπ={1−1k=even(偶数)k=odd(奇数)

∴X(k)=DFT[x(n)]={X(2r)=∑n=0N/2−1[x(n)+x(n+N2)]⋅WN2rnk=evenX(2r+1)=∑n=0N/2−1[x(n)−x(n+N2)]⋅WNnWN2rnk=odd\therefore X(k)=DFT[x(n)]=\begin{cases}X(2r)=\sum_{n=0}^{N/2-1}[x(n)+x(n+\frac N2)]\cdot W_N^{2rn}&k=even\\X(2r+1)=\sum_{n=0}^{N/2-1}[x(n)-x(n+\frac N2)]\cdot W_N^{n}W_N^{2rn}&k=odd\end{cases}∴X(k)=DFT[x(n)]={X(2r)=∑n=0N/2−1[x(n)+x(n+2N)]⋅WN2rnX(2r+1)=∑n=0N/2−1[x(n)−x(n+2N)]⋅WNnWN2rnk=evenk=odd

令{x1(n)=x(n)+x(n+N2)x2(n)=[x(n)−x(n+N2)]WNn\begin{cases}x_1(n)=x(n)+x(n+\frac N2)\\x_2(n)=[x(n)-x(n+\frac N2)]W_N^n\end{cases}{x1(n)=x(n)+x(n+2N)x2(n)=[x(n)−x(n+2N)]WNn
∴X(k)=DFT[x(n)]={DFT[x1(n)]DFT[x2(n)]={X(2r)=∑n=0N/2−1x1(n)⋅WN2rnk=evenX(2r+1)=∑n=0N/2−1x2(n)⋅WN2rnk=odd\therefore X(k)=DFT[x(n)]=\begin{cases}DFT[x_1(n)]\\DFT[x_2(n)]\end{cases}=\begin{cases}X(2r)=\sum_{n=0}^{N/2-1}x_1(n)\cdot W_N^{2rn}&k=even\\X(2r+1)=\sum_{n=0}^{N/2-1}x_2(n)\cdot W_N^{2rn}&k=odd\end{cases} ∴X(k)=DFT[x(n)]={DFT[x1(n)]DFT[x2(n)]={X(2r)=∑n=0N/2−1x1(n)⋅WN2rnX(2r+1)=∑n=0N/2−1x2(n)⋅WN2rnk=evenk=odd

∴X(k)=DFT[x(n)]={DFT[x1(n)]DFT[x2(n)]={X(2r)=∑n=0N/2−1x1(n)⋅WN/2rn=X1(r)k=evenX(2r+1)=∑n=0N/2−1x2(n)⋅WN/2rn=X2(r)k=odd\therefore X(k)=DFT[x(n)]=\begin{cases}DFT[x_1(n)]\\DFT[x_2(n)]\end{cases}=\begin{cases}X(2r)=\sum_{n=0}^{N/2-1}x_1(n)\cdot W_{N/2}^{rn}=X_1(r)&k=even\\X(2r+1)=\sum_{n=0}^{N/2-1}x_2(n)\cdot W_{N/2}^{rn}=X_2(r)&k=odd\end{cases} ∴X(k)=DFT[x(n)]={DFT[x1(n)]DFT[x2(n)]={X(2r)=∑n=0N/2−1x1(n)⋅WN/2rn=X1(r)X(2r+1)=∑n=0N/2−1x2(n)⋅WN/2rn=X2(r)k=evenk=odd

利用蝶形运算得到N=8点时的DIF-FFT运算流图

运算量：CM=M⋅N2=N2log2N,CA=M⋅N2×2=Nlog2NC_M=M\cdot \frac N2=\frac N2log_2N,C_A=M\cdot \frac N2×2=Nlog_2NCM=M⋅2N=2Nlog2N,CA=M⋅2N×2=Nlog2N

仔细观察基2DIF-FFT运算流图和基2DIT-FFT运算流图会发现，将频域抽取法的运算流图反转，并将输入变输出，输出变输入，正好得到时域抽取法的运算流图

对于实序列进行FFT：把实序列x(n)看作虚部为零的复序列，直接调用fft

IDFT的快速算法

旋转因子指数变极性法

比较DFT和IDFT的运算公式：
X(k)=DFT[x(n)]=∑n=0N−1x(n)e−j2πNkn,k=0,1,...,N−1X(k)=DFT[x(n)]=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi}Nkn},k=0,1,...,N-1 X(k)=DFT[x(n)]=n=0∑N−1x(n)e−jN2πkn,k=0,1,...,N−1

x(n)=IDFT[X(k)]=1N∑k=0N−1X(k)ej2πNkn,n=0,1,...,N−1x(n)=IDFT[X(k)]=\frac1N\sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{j\frac{2\pi}Nkn},n=0,1,...,N-1 x(n)=IDFT[X(k)]=N1k=0∑N−1X(k)ejN2πkn,n=0,1,...,N−1

所以，如果将基2DIT-FFT或基2DIF-FFT算法中的旋转因子WNpW_N^pWNp改为WN−pW_N^{-p}WN−p，为X(k)作为输入序列，运算结果乘以1/n，就可以用来快速计算IDFT，得到输出序列x(n)

直接调用FFT子程序：方法1

x(n)=1N∑k=0N−1X(k)WN−kn,0≤n≤N−1x(n)=\frac 1N\sum_{k=0}^{N-1}X(k)W_N^{-kn},0\leq n\leq N-1x(n)=N1∑k=0N−1X(k)WN−kn,0≤n≤N−1

x∗(n)=1N∑k=0N−1X∗(k)WNkn,0≤n≤N−1x^*(n)=\frac 1N\sum_{k=0}^{N-1}X^*(k)W_N^{kn},0\leq n\leq N-1x∗(n)=N1∑k=0N−1X∗(k)WNkn,0≤n≤N−1

上式两边取共轭得：

x(n)=1N[∑k=0N−1X∗(k)WNkn]∗=1N{DFT[X∗(k)]}∗,0≤n≤N−1x(n)=\frac1N[\sum_{k=0}^{N-1}X^*(k)W_N^{kn}]^*=\frac1N\{DFT[X^*(k)]\}^*,0\leq n\leq N-1x(n)=N1[∑k=0N−1X∗(k)WNkn]∗=N1{DFT[X∗(k)]}∗,0≤n≤N−1

因此，将X(k)取共轭后得到X∗(k)X^*(k)X∗(k)，输入FFT算出DFT[X∗(k)]DFT[X^*(k)]DFT[X∗(k)]，对其取共轭，再乘以1/N得x(n)

直接调用FFT子程序：方法2

X(k)的DFTg(n)=∑k=0N−1X(k)WNkn=DFT[X(k)],0≤n≤N−1g(n)=\sum_{k=0}^{N-1}X(k)W_N^{kn}=DFT[X(k)],0\leq n\leq N-1g(n)=∑k=0N−1X(k)WNkn=DFT[X(k)],0≤n≤N−1

根据DFT的时域移位性质得

1Ng(N−m)=1N∑k=0N−1X(k)WNk(N−n)=1N∑k=0N−1X(k)WNkNWN−kn\frac 1Ng(N-m)=\frac 1N\sum_{k=0}^{N-1}X(k)W_N^{k(N-n)}=\frac 1N\sum_{k=0}^{N-1}X(k)W_N^{kN}W_N^{-kn}N1g(N−m)=N1∑k=0N−1X(k)WNk(N−n)=N1∑k=0N−1X(k)WNkNWN−kn

=1N∑k=0N−1X(k)WN−kn=x(n),0≤n≤N−1=\frac 1N\sum_{k=0}^{N-1}X(k)W_N^{-kn}=x(n),0\leq n\leq N-1=N1∑k=0N−1X(k)WN−kn=x(n),0≤n≤N−1

因此，x(n)=1Ng(N−m),0≤n≤N−1x(n)=\frac 1Ng(N-m),0\leq n\leq N-1x(n)=N1g(N−m),0≤n≤N−1

将X(k)作为FFT的输入，求出g(n)，将g(n)进行移位的g(N-m)，再乘以1/n，得x(n)，即求出X(k)的逆IDFT

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文章目录一.傅里叶变换存在的理论基础二.周期信号的傅里叶级数推导三.连续非周期信号的傅里叶变换推导四.离散非周期信号的傅里叶变换(DFT)推导五.相位六.通俗理解傅里叶变换七.DFT的代 ...
Python信号处理小试牛刀——快速傅里叶变换(FFT)
输入:仿真一个理想的多频信号y,频率为3Hz.10Hz,然后在这个理想信号上添加一个白噪声,得到一个带有白噪声的多频信号y_noise: 处理过程:分别对两个信号进行快速傅里叶变换得到对应的频谱图: ...

数字信号处理(五)快速傅里叶变换