文章目录

一、傅里叶变换存在的理论基础
二、周期信号的傅里叶级数推导
三、连续非周期信号的傅里叶变换推导
四、离散非周期信号的傅里叶变换(DFT)推导
五、相位
六、通俗理解傅里叶变换
七、DFT的代码实现

在上一篇文章中我们推导了卷积。这一篇文章基于上一篇的卷积结果：
y[n]=∑k=−∞+∞x[k]⋅h[n−k]=∑k=−∞+∞h[k]⋅x[n−k]y[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k] \cdot h[n-k]\\ =\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h[k] \cdot x[n-k]y[n]=k=−∞∑+∞x[k]⋅h[n−k]=k=−∞∑+∞h[k]⋅x[n−k]
来进行接下来傅里叶变换的推导。

文章中以⋅\cdot⋅表示乘法，以*表示卷积。离散信号使用x[n]x[n]x[n]表示，连续时间信号使用x(t)x(t)x(t)表示

一、傅里叶变换存在的理论基础

在开始接下来的内容之前，首先要熟悉一个概念，这也是接下来所有内容存在的前提。这就是 所有信号都可以用不同频率、相位以及幅度的正弦波叠加而成 。哪怕是方波这样的信号，它也可以用无数组不同的正弦波叠加去逼近。当然，这无法百分之百复原。而傅里叶变换，简单来说就是通过计算，得出该信号中不同频率的正弦波分量的大小。这也是为什么我们对时域信号做傅里叶变换之后就到了频域。至于这个结论是怎么来的，那是另外一个故事了，在此不多讲。

另外有一个非常重要的公式：欧拉公式
ejx=cos(x)+jsin(x)e−jx=cos(x)−jsin(x)e^{jx}=cos(x) + jsin(x)\\ e^{-jx} = cos(x) - jsin(x) ejx=cos(x)+jsin(x)e−jx=cos(x)−jsin(x)

二、周期信号的傅里叶级数推导

依据之前的结论，我们有理由假设，任意周期信号x(t)x(t)x(t)都可以由一组正弦信号组成。根据欧拉公式，假设有一信号
x(t)=cos(kt)x(t) = cos(kt) x(t)=cos(kt)
那么很容易使用欧拉公式代换为
x(t)=12⋅(ejkt+e−jkt)x(t) = \frac{1}{2}\cdot (e^{jkt} + e^{-jkt}) x(t)=21⋅(ejkt+e−jkt)
因此对于某一信号，我们都可以写成e的幂次方的形式。也就是说ejkte^{jkt}ejkt这种形式的复指数信号可以成为所有信号的基本构成单元。
另外，对于周期信号x(t)x(t)x(t)，组成它的一系列正弦波信号也一定是周期的，也就是说这些正弦波是成谐波关系。那么就会存在一个基本频率w0=2π/Tw_0=2\pi/Tw0=2π/T，T为x(t)x(t)x(t)的周期。剩下的所有基本信号的频率都为w0w_0w0的整数倍。
于是可以写作：

式1

x(t)=∑k=−∞−∞akejkw0tx(t) = \sum^{-\infty}_{k=-\infty}a_k e^{jkw_0t} x(t)=k=−∞∑−∞akejkw0t

注意上述表达式，对于k=0k=0k=0时，代表的是信号中的直流分量。对于实信号，必然会有ak=a−ka_{k}=a_{-k}ak=a−k。这也是我们在现实中处理的信号。
既然一个信号可以按照上式来分解，那么就可以得出这些信号的系数aka_kak是多少。

对式1左右同时乘e−jnw0te^{-jnw_0t}e−jnw0t，n为整数，可得
x(t)e−jnw0t=∑k=−∞−∞akejkw0te−jnw0tx(t) e^{-jnw_0t}=\sum^{-\infty}_{k=-\infty}a_k e^{jkw_0t} e^{-jnw_0t} x(t)e−jnw0t=k=−∞∑−∞akejkw0te−jnw0t
对上式对t在一个周期T内积分
∫Tx(t)e−jnw0tdt=∫T∑k=−∞−∞akejkw0te−jnw0tdt∫Tx(t)e−jnw0tdt=∑k=−∞−∞ak[∫Tej(k−n)w0tdt]\int_{T} x(t) e^{-jnw_0t}dt=\int_{T} \sum^{-\infty}_{k=-\infty}a_k e^{jkw_0t} e^{-jnw_0t}dt \\ \int_{T}x(t) e^{-jnw_0t}dt = \sum^{-\infty}_{k=-\infty}a_k [\int_{T} e^{j(k-n)w_0t}dt] ∫Tx(t)e−jnw0tdt=∫Tk=−∞∑−∞akejkw0te−jnw0tdt∫Tx(t)e−jnw0tdt=k=−∞∑−∞ak[∫Tej(k−n)w0tdt]
对于右边的积分部分，利用欧拉公式可得
∫Tej(k−n)w0tdt=∫Tcos[(k−n)w0t]dt+j∫Tsin[(k−n)w0t]dt\int_{T} e^{j(k-n)w_0t}dt=\int_{T}cos[(k-n)w_0t]dt + j\int_{T}sin[(k-n)w_0t]dt ∫Tej(k−n)w0tdt=∫Tcos[(k−n)w0t]dt+j∫Tsin[(k−n)w0t]dt
显然，对于cos(k−n)w0tcos(k-n)w_0tcos(k−n)w0t和sin(k−n)w0tsin(k-n)w_0tsin(k−n)w0t，当k≠nk\neq nk=n时，其周期为T/(k−n)T/(k-n)T/(k−n)，对于在周期T内的积分，上式结果为0。仅当k=nk=nk=n时，cos项积分为T，sin项积分为0。故
∫Tej(k−n)w0tdt={Tk=n0k≠n\int_{T} e^{j(k-n)w_0t}dt = \begin{cases} T & k = n\\ 0 & k \neq n \end{cases} ∫Tej(k−n)w0tdt={T0k=nk=n
因此可得
∫Tx(t)e−jnw0tdt=anT\int_{T} x(t) e^{-jnw_0t}dt = a_n T ∫Tx(t)e−jnw0tdt=anT
注意我们对于积分得到的结果的条件，仅当k=nk=nk=n时，积分值为T。故求和等价于使用条件成立时的ana_nan。由此，可得傅里叶级数系数

式2

an=1T∫Tx(t)e−jnw0tdta_n=\frac{1}{T}\int_{T} x(t) e^{-jnw_0t}dt an=T1∫Tx(t)e−jnw0tdt

式2就是连续周期信号的傅里叶级数。
对于积分的上下限，并不一定需要是0和T，只要是在周期T内的积分就可以。
对于离散周期信号的傅里叶级数，证明过程与此类似。不过其实只要简单地将连续周期T替换为离散周期N，连续的积分等于离散的求和，便可以得到离散周期信号的傅里叶级数系数。若同样假设离散信号可以由一组基本信号组成：
x[n]=∑k=−∞+∞akejkw0nx[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k e^{jkw_0n} x[n]=k=−∞∑+∞akejkw0n
对上式左右同时乘e−jrw0ne^{-jrw_0n}e−jrw0n。与连续信号证明过程类似，最后可得：

式3

ar=1N∑n=<N>x[n]e−jrw0na_r=\frac{1}{N}\sum_{n=<N>} x[n] e^{-jrw_0n} ar=N1n=<N>∑x[n]e−jrw0n
同理，对于求和范围只要在周期N内即可。

三、连续非周期信号的傅里叶变换推导

第二部分推导了周期信号的傅里叶级数及其系数。但是对于大部分信号来讲，都是非周期的。接下来要从第二部分扩展开来，求出非周期信号的傅里叶变换。

从一个最简单的信号——方波开始。
x(t)={1∣t∣<T10T1<∣t∣<T/2x(t)= \begin{cases} 1 & |t|<T_1\\ 0 & T_1 < |t| < T/2 \end{cases} x(t)={10∣t∣<T1T1<∣t∣<T/2

对于它的傅里叶级数系数
ak=2sin(kw0T1)kw0Ta_k=\frac{2sin(kw_0T_1)}{kw_0T}\\ ak=kw0T2sin(kw0T1)
w0=2πTw_0=\frac{2\pi}{T} w0=T2π

对aka_kak进行变形
Tak=2sin(wT1)w∣w=kw0Ta_k=\frac{2sin(wT_1)}{w}|_{w=kw_0} Tak=w2sin(wT1)∣w=kw0
若T1T_1T1固定，则TakTa_kTak的图像就与TTT无关。下面是T1T_1T1固定，TTT取不同值时TakTa_kTak的包络图像

可以看到，当TTT增大时，w0w_0w0变小。当T→∞T\to\inftyT→∞时，www逐渐趋近连续，TakTa_kTak的函数图像也逐渐趋近连续的包络图像。
这个过程中我们可以看出来，对于一个非周期函数的傅里叶表示，我们可以把它当作一个周期函数在周期无限大的极限情况。

考虑更普遍的信号。
假设信号x(t)x(t)x(t)是x~(t)\tilde{x}(t)x~(t)的一个周期。

依据之前的傅里叶级数
x~(t)=∑k=−∞+∞akejkw0tak=1T∫Tx~(t)e−jkw0tdt\tilde{x}(t)=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}a_k e^{jkw_0t}\\ a_k=\frac{1}{T}\int_{T}\tilde{x}(t)e^{-jkw_0t}dt x~(t)=k=−∞∑+∞akejkw0tak=T1∫Tx~(t)e−jkw0tdt
其中，w0=2π/Tw_0=2\pi/Tw0=2π/T。
由于是在T内进行的积分，因此
ak=1T∫T1x(t)e−jkw0tdt=1T∫Tx(t)e−jkw0tdt=1T∫−∞+∞x(t)e−jkw0tdta_k=\frac{1}{T}\int_{T_1}x(t)e^{-jkw_0t}dt=\frac{1}{T}\int_{T}x(t)e^{-jkw_0t}dt=\frac{1}{T}\int^{+\infty}_{-\infty}x(t)e^{-jkw_0t}dt ak=T1∫T1x(t)e−jkw0tdt=T1∫Tx(t)e−jkw0tdt=T1∫−∞+∞x(t)e−jkw0tdt
和上面类似，定义TakTa_kTak包络X(jw)X(jw)X(jw)为

式4
X(jw)=∫−∞+∞x(t)e−jwtdtX(jw)=\int^{+\infty}_{-\infty}x(t)e^{-jwt}dt X(jw)=∫−∞+∞x(t)e−jwtdt

其中w=kw0w=kw_0w=kw0。
此时aka_kak可写作
ak=1TX(jkw0)a_k=\frac{1}{T}X(jkw_0) ak=T1X(jkw0)
代入x~(t)\tilde{x}(t)x~(t)
x~(t)=∑k=−∞+∞1TX(jkw0)ejkw0t\tilde{x}(t)=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} \frac{1}{T}X(jkw_0) e^{jkw_0t} x~(t)=k=−∞∑+∞T1X(jkw0)ejkw0t
又因为w0=2π/Tw_0=2\pi/Tw0=2π/T，并且令w=kw0w=kw_0w=kw0
x~(t)=12π∑k=−∞+∞X(jw)ejwtw0\tilde{x}(t)=\frac{1}{2\pi} \sum^{+\infty}_{k=-\infty} X(jw) e^{jwt}w_0 x~(t)=2π1k=−∞∑+∞X(jw)ejwtw0

当T→∞T\to\inftyT→∞时，w0→0w_0\to0w0→0，上式从就从求和过渡为积分(积分就是微观上的面积求和，www为自变量，w0w_0w0就是面积的底边)。并且在在时域上x~(t)\tilde{x}(t)x~(t)趋近x(t)x(t)x(t)。于是就有

式5
x(t)=12π∫−∞+∞X(jw)ejwtdwx(t)=\frac{1}{2\pi} \int^{+\infty}_{-\infty}X(jw) e^{jwt} dw x(t)=2π1∫−∞+∞X(jw)ejwtdw

那么，式4
X(jw)=∫−∞+∞x(t)e−jwtdtX(jw)=\int^{+\infty}_{-\infty}x(t)e^{-jwt}dt X(jw)=∫−∞+∞x(t)e−jwtdt
和式5
x(t)=12π∫−∞+∞X(jw)ejwtdwx(t)=\frac{1}{2\pi} \int^{+\infty}_{-\infty}X(jw) e^{jwt} dw x(t)=2π1∫−∞+∞X(jw)ejwtdw
就分别是连续非周期信号的傅里叶变换和傅里叶逆变换。

四、离散非周期信号的傅里叶变换(DFT)推导

对于离散信号来说，推导过程与第三部分类似。对于信号x[n]x[n]x[n]仍然看作x~[n]\tilde{x}[n]x~[n]的一个周期。

有一些与连续信号明显的差异点，在于不仅信号在时域上是离散的，在频域上也是离散的。
已经知道离散周期信号的傅里叶级数系数是
ak=1N∑n=<N>x[n]e−jkw0na_k=\frac{1}{N}\sum_{n=<N>} x[n] e^{-jkw_0n} ak=N1n=<N>∑x[n]e−jkw0n
同样将NakNa_kNak看作包络函数X[jkw0]X[jkw_0]X[jkw0]。按照同样的方法扩展周期TTT。可得

式6
X[jkw0]=∑n=<N>x[n]e−jkw0nX[jkw_0]=\sum_{n=<N>} x[n] e^{-jkw_0n} X[jkw0]=n=<N>∑x[n]e−jkw0n

便是离散信号的傅里叶变换式。
至于傅里叶逆变换式推导则稍有不同。
首先
x~[n]=∑k=−∞+∞akejkw0n\tilde{x}[n] = \sum^{+\infty}_{k=-\infty}a_k e^{jkw_0n} x~[n]=k=−∞∑+∞akejkw0n
由欧拉公式克制，ejkw0ne^{jkw_0n}ejkw0n是周期函数。最大周期为T=2π/w0T=2\pi/w_0T=2π/w0，因此上式求和完全可以限制在一个周期范围内。
x~[n]=∑k=<N>akejkw0n\tilde{x}[n] = \sum_{k=<N>}a_k e^{jkw_0n} x~[n]=k=<N>∑akejkw0n
如果只在一个周期内求和，那么可以用x[n]x[n]x[n]替换x~[n]\tilde{x}[n]x~[n]。同时，将
Nak=∑n=<N>x[n]e−jkw0n=X[jkw0]Na_k=\sum_{n=<N>} x[n] e^{-jkw_0n}=X[jkw_0] Nak=n=<N>∑x[n]e−jkw0n=X[jkw0]
代入。得

式7:

x[n]=1N∑k=<N>X[jkw0]ejkw0nx[n]=\frac{1}{N}\sum_{k=<N>}X[jkw_0] e^{jkw_0n} x[n]=N1k=<N>∑X[jkw0]ejkw0n

式6就是离散傅里叶变换，式7就是离散傅里叶逆变换。
对于变换后的频域，由于kw0kw_0kw0是离散的，所以www也是离散的。而我们明确知道傅里叶变换就是到频域的变换，因此对于离散信号，使用X[w]X[w]X[w]代替X[jkw0]X[jkw_0]X[jkw0]。对于连续信号，使用X(w)X(w)X(w)代替X(jkw)X(jkw)X(jkw)。这样以来，便更加明确了。

五、相位

我们知道，要精确描述一个正弦波，那么主要包含3个要素：振幅、频率、相位。以离散信号举例，回想离散信号的傅里叶变换，并用欧拉公式展开：
X[w]=∑n=<N>x[n][cos(wn)−jsin(wn)]X[w]=\sum_{n=<N>} x[n] [cos(wn)-jsin(wn)] X[w]=n=<N>∑x[n][cos(wn)−jsin(wn)]
显然，对于e−jkw0ne^{-jkw_0n}e−jkw0n，以nnn为自变量，那么其表示的信号频率就是w=kw0w=kw_0w=kw0。最终的振幅也取决于最后的求和。那么在哪里体现相位呢？其实就相位就存在于复数中，很显然上式自变量是www，而因变量是复数。每个频率对应的那个复数中就包含了相位信息。以虚部为纵轴，实部为横轴
θ=atanimagreal\theta=atan\frac{imag}{real} θ=atanrealimag

如此一来，傅里叶变换后的频域信息精确包含了其在时域上的信息，也就是信息能够还原回去。

六、通俗理解傅里叶变换

本篇文章并不像其他科普类的文章一样有很多生动的图给大家看，公式非常多。但其实如果大家仔细研究一下整个推导过程，尤其是最起始的部分，会发现相比于图片，这个更佳直观。

由于非周期信号是从周期信号衍生开来的，所以我们用最简单的周期信号来讲。到这里大家应该已经明白了，任意周期信号都是一组基本的sin信号的叠加，这些sin信号有不同的频率、幅度以及相位。而傅里叶级数的系数aka_kak则代表了对应的sin信号在该信号中的量是多少，可以理解为幅度。如何得出这个幅度？再看一下傅里叶级数的系数的公式
ak=1N∑n=<N>x[n]e−jkw0na_k=\frac{1}{N}\sum_{n=<N>} x[n] e^{-jkw_0n} ak=N1n=<N>∑x[n]e−jkw0n
之前已经为大家解释过，由欧拉公式，e−jkw0ne^{-jkw_0n}e−jkw0n可以作为信号的基本组成单元，因为它的组合其实也就是sin信号。所以简单来说，我们不妨就把e−jkw0ne^{-jkw_0n}e−jkw0n简单理解为一个sin信号，它的幅度是1，频率是w=kw0w=kw_0w=kw0。用它和原信号x[n]x[n]x[n]相乘并求和，那么这个相乘的目的是什么？在此之前大家应该了解一下互相关的定义。
假设有信号x[n]x[n]x[n]和y[n]y[n]y[n]，求相关的长度为N，那么其互相关的定义就是
R[a]=1N∑m=<N>x[m]y[m+a]R[a]=\frac{1}{N}\sum_{m=<N>}x[m]y[m+a] R[a]=N1m=<N>∑x[m]y[m+a]
当R[a]R[a]R[a]中的峰值最高时，就代表在y[n]y[n]y[n]中找到了与x[n]x[n]x[n]最相似的信号。因此，互相关也是从一段信号中挑选出与已知信号最相似信号的最佳方法。

接着回到傅里叶变换的公式，无论是周期信号的傅里叶级数系数，还是非周期信号的傅里叶变换，不难发现，它们的计算与互相关是如此相似。因此你可以理解为傅里叶变换是从x[n]x[n]x[n]中找出给定频率的信号e−jkw0ne^{-jkw_0n}e−jkw0n的“相关性”（这个相关性与严格数学上定义的相关性不是一回事）。又因为e−jkw0ne^{-jkw_0n}e−jkw0n的幅度总为1，因此计算出的结果某种程度可以看作是信号e−jkw0ne^{-jkw_0n}e−jkw0n在x[n]x[n]x[n]中的大小。由此，我们就得到了频率为w=kw0w=kw_0w=kw0的信号在x[n]x[n]x[n]中的“大小”。这便从时域转到了频域上。

傅里叶变换还有一些很关键的性质，但这篇文章的目的在于理解傅里叶变换，而很多性质其实从傅里叶变换公式中就可以看出来，在此就不掉书袋了。需要的同学可以去看奥本海默的《信号与系统》。之后如果用到的话我会在文章中提示。

七、DFT的代码实现

DFT（离散傅里叶变换）的实现实际上非常简单。下面是c/c++版本的

#include <math.h>#define PI 3.14159f
//N: dft length, h.length = 2 * N, H.length = 2 * N
// h and H are arrays in format: {real, imag, real, imag...}
void dft(float *h, float *H, int N)
{memset(H, 0, 2 * N * sizeof(float));float w0 = 2 * PI / N;for(int k = 0; k < N; k++){for(int n = 0; n < N; n++){float cosV = cos(n * k * w0);float sinV = -sin(n * k * w0);float real = h[2 * n];float imag = h[2 * n  + 1];H[2 * k] += real * cosV - imag * sinV;H[2 * k + 1] += real * sinV + imag * cosV;}}
}
void idft(float *H, float *h, int N)
{memset(h, 0, 2 * N * sizeof(float));float w0 = 2 * PI / N;for(int n = 0; n < N; n++){for(int k = 0; k < N; k++){float cosV = cos(n * k * w0);float sinV = sin(n * k * w0);float real = H[2 * k];float imag = H[2 * k + 1];h[2 * n] += (real * cosV - imag * sinV) / N;h[2 * n + 1] += (real * sinV + imag * cosV) / N;}}
}

由于复数的实现在不同编译器上实现不同，为了通用性，我用float数组表示复数数组。

但实际上，DFT是一个非常耗时的计算，因此在工程中常用FFT(快速傅里叶变换)来代替。但是在生成诸如FIR滤波器时，由于不是经常需要计算滤波器参数，因此用DFT是没有问题的。

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