文章目录

一、求 sinωn 傅里叶变换
- 0、sinωn 序列分析
- 1、傅里叶变换与反变换公式介绍
- 2、复变函数欧拉公式介绍
- 3、求 sinωn 的傅里叶变换推导过程

一、求 sinωn 傅里叶变换

求 sin⁡ω0n\sin\omega_0nsinω0n 的傅里叶变换 SFT[sin⁡ω0n]SFT[\sin\omega_0n]SFT[sinω0n] ?

0、sinωn 序列分析

∑n=−∞+∞∣sin⁡ω0n∣=∞\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|\sin\omega_0n| = \inftyn=−∞∑+∞∣sinω0n∣=∞

sin⁡ω0n\sin\omega_0nsinω0n 序列不是绝对可和的 , 序列值相加值为 ∞\infty∞ , 但是其有傅里叶变换 ;

绝对可和与存在傅里叶变换关系如下 :

如果 " x(n)x(n)x(n)序列绝对可和 " , 则 " 序列傅里叶变换 SFT " 一定存在 ;
如果 " 序列傅里叶变换 SFT " 存在 , 不一定 " x(n)x(n)x(n)序列绝对可和 " ; 某些 " 非绝对可和序列 " , 引入广义函数 δ(ω)\delta(\omega)δ(ω) 后 , 其傅里叶变换也存在 ;

1、傅里叶变换与反变换公式介绍

傅里叶变换 : 时域 " 离散非周期 " 信号 , 其频域就是 " 连续周期 " 的 , 其频域可以展开成一个 " 正交函数的无穷级数加权和 " , 如下公式

X(ejω)=∑n=−∞+∞x(n)e−jωnX(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn

傅里叶反变换 : 利用 " 正交函数 " 可以推导出 " 傅里叶反变换 " , 即根据傅里叶变换推导序列 ;

x(n)=12π∫−ππX(ejω)ejωkdωx(n) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omegax(n)=2π1∫−ππX(ejω)ejωkdω

2、复变函数欧拉公式介绍

复变函数欧拉公式 :

eix=cos⁡x+isin⁡x①e^{ix} = \cos x + i \sin x \ \ \ \ ①eix=cosx+isinx ①

e−ix=cos⁡x−isin⁡x②e^{-ix} = \cos x - i \sin x \ \ \ \ ②e−ix=cosx−isinx ②

单位复指数序列特点 :

ej(ω0n+2kπn)=ejω0nk=0,±1,±2,⋯e^{j (\omega _0 n + 2k\pi n)} = e^{j \omega_0 n} \ \ \ \ \ k = 0, \pm1 , \pm 2, \cdotsej(ω0n+2kπn)=ejω0n k=0,±1,±2,⋯

对 ω\omegaω 来说一定是以 2π2\pi2π 为周期 ;

① 与 ② 相加 , 可以得到 :

cos⁡x=eix+e−ix2公式③\cos x = \cfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \ \ \ \ 公式③cosx=2eix+e−ix 公式③

① 与 ② 相减 , 可以得到 :

sin⁡x=eix−e−ix2i公式④\sin x = \cfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \ \ \ \ 公式④sinx=2ieix−e−ix 公式④

可参考百度百科 : https://baike.baidu.com/item/欧拉公式/92066

3、求 sinωn 的傅里叶变换推导过程

直接对

sin⁡ω0n\sin \omega_0 nsinω0n

使用

sin⁡x=eix−e−ix2i公式④\sin x = \cfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \ \ \ \ 公式④sinx=2ieix−e−ix 公式④

公式 ,

可以得到 :

sin⁡ω0n=eiω0n−e−iω0n2i⑤\sin \omega_0 n = \cfrac{e^{i\omega_0 n} - e^{-i\omega_0 n}}{2i} \ \ \ \ ⑤sinω0n=2ieiω0n−e−iω0n ⑤

求上述

eiω0n−e−iω0n2i\cfrac{e^{i\omega_0 n} - e^{-i\omega_0 n}}{2i}2ieiω0n−e−iω0n

序列的傅里叶变换 ,

在【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 基本序列的傅里叶变换 | e^jωn 的傅里叶变换 ) 博客中 , 已经求出了 eiω0ne^{i\omega_0 n}eiω0n 的傅里叶变换 , 结果是 :

SFT[ejω0n]=∑n=−∞+∞e−j(ω−ω0)=2πδ~(ω−ω0)SFT[e^{j \omega_0 n}] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{ -j ( \omega - \omega_0 ) } =2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega - \omega_0 )SFT[ejω0n]=n=−∞∑+∞e−j(ω−ω0)=2πδ(ω−ω0)

将 jjj 替换成 iii 可以得到 :

SFT[eiω0n]=∑n=−∞+∞e−i(ω−ω0)=2πδ~(ω−ω0)⑥SFT[e^{i \omega_0 n}] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{ -i ( \omega - \omega_0 ) } =2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega - \omega_0 ) \ \ \ \ ⑥SFT[eiω0n]=n=−∞∑+∞e−i(ω−ω0)=2πδ(ω−ω0) ⑥

将 ω0\omega_0ω0 替换成 −ω0-\omega_0−ω0 可以得到 :

SFT[ei(−ω0)n]=∑n=−∞+∞e−i(ω+ω0)=2πδ~(ω+ω0)⑦SFT[e^{i ( -\omega_0 ) n}] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{ -i ( \omega + \omega_0 ) } =2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega + \omega_0 ) \ \ \ \ ⑦SFT[ei(−ω0)n]=n=−∞∑+∞e−i(ω+ω0)=2πδ(ω+ω0) ⑦

将 ⑥ 和 ⑦ 带入到 ⑤ 式子中 , 可以得到 :

SFT[sin⁡ω0n]=2πδ~(ω−ω0)−2πδ~(ω+ω0)2iSFT[\sin \omega_0 n] = \cfrac{2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega - \omega_0 ) - 2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega + \omega_0 ) }{2i}SFT[sinω0n]=2i2πδ(ω−ω0)−2πδ(ω+ω0)

最终得到 :

SFT[sin⁡ω0n]=πδ~(ω−ω0)−πδ~(ω+ω0)iSFT[\sin \omega_0 n] = \cfrac{ \pi \widetilde{\delta} ( \omega - \omega_0 ) - \pi \widetilde{\delta} ( \omega + \omega_0 ) }{i}SFT[sinω0n]=iπδ(ω−ω0)−πδ(ω+ω0)

将 π\piπ 提取出来 , 得到 :

SFT[sin⁡ω0n]=π[δ~(ω−ω0)−δ~(ω+ω0)]iSFT[\sin \omega_0 n] = \cfrac{ \pi [\widetilde{\delta} ( \omega - \omega_0 ) - \widetilde{\delta} ( \omega + \omega_0 )] }{i}SFT[sinω0n]=iπ[δ(ω−ω0)−δ(ω+ω0)]

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