一、序列傅里叶变换定义详细分析

序列傅里叶变换 SFT , 英文全称 " Sequence Fourier Transform " ;

x(n)x(n)x(n) 信号是离散非周期的 , 那么其傅里叶变换一定是连续周期的 ;

x(n)x(n)x(n) 是绝对可和的 , 满足如下条件 :

∑n=−∞+∞∣x(n)∣<∞\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x(n)|< \inftyn=−∞∑+∞∣x(n)∣<∞

连续周期的傅里叶变换 , 可以展开成正交函数线性组合的无穷级数和 :

X(ejω)=∑n=−∞+∞x(n)e−jωnX(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn

就是 x(n)x(n)x(n) 的序列傅里叶变换 SFT ;

X(ejω)X(e^{j \omega})X(ejω) 是实的连续的变量 ω\omegaω 的复函数 , 其可以表示成实部和虚部 ;

X(ejω)=Xg(ejω)+jXl(ejω)=∣X(ejω)∣ejθ(ω)X(e^{j\omega}) = X_g(e^{j\omega}) + jX_l(e^{j\omega}) = |X(e^{j\omega})|e^{j\theta(\omega)}X(ejω)=Xg(ejω)+jXl(ejω)=∣X(ejω)∣ejθ(ω)

∣X(ejω)∣|X(e^{j\omega})|∣X(ejω)∣ 模是其 " 幅频特性 " ,

ejθ(ω)e^{j\theta(\omega)}ejθ(ω) 相角是其 " 相频特性 " ,

其中

θ(ω)=arg⁡(X(ejω))\theta(\omega) = \arg(X(e^{j\omega}))θ(ω)=arg(X(ejω))

二、证明单位复指数序列正交完备性

证明如下 " 单位复指数序列 " 是 " 正交完备集 "

{e−jωn}\{ e^{-j \omega n} \}{e−jωn}

其中 n=0,±1,±2,⋯n = 0 , \pm 1 , \pm2 , \cdotsn=0,±1,±2,⋯

证明正交完备性方法 e−jωne^{-j \omega n}e−jωn 函数 , 乘以该函数的共轭 (e−jωn)∗(e^{-j \omega n})^*(e−jωn)∗ , 然后在一个周期中求积分 , 计算结果如下 :

∫−ππe−jωn(e−jωn)∗dω={2πm=n0m≠n①\int_{-\pi}^\pi e^{-j \omega n} (e^{-j \omega n}) ^* d \omega =\begin{cases}2\pi & m = n \\\\ 0 & m \not= n \end{cases} \ \ \ \ ①∫−ππe−jωn(e−jωn)∗dω=⎩⎪⎨⎪⎧2π0m=nm=n ①

在上述计算结果的前提下 , 推导 x(n)x(n)x(n) 和 X(ejω)X( e^{j \omega } )X(ejω) 之间的关系 :

X(ejω)=∑n=−∞+∞x(n)e−jωn②X( e^{j \omega } ) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}x(n) e^{-j \omega n} \ \ \ \ ②X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn ②

将 ② 式中 , 在等式两边都乘以 ejωke^{j \omega k}ejωk , 然后对 ω\omegaω 在 −π-\pi−π ~ π\piπ 之间进行积分得到 :

∫−ππX(ejω)ejωkdω=∫−ππ∑n=−∞+∞x(n)e−jωnejωkdω\int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omega = \int_{-\pi} ^\pi \sum_{n = -\infty}^{+\infty}x(n) e^{-j \omega n} e^{j \omega k} d \omega∫−ππX(ejω)ejωkdω=∫−ππn=−∞∑+∞x(n)e−jωnejωkdω

将 " ∑\sum∑ 求和 " 与 " ∫\int∫ 积分 " 交换位置 ,

∫−ππX(ejω)ejωkdω=∑n=−∞+∞x(n)∫−ππe−jωnejωkdω\int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omega = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}x(n) \int_{-\pi} ^\pi e^{-j \omega n} e^{j \omega k} d \omega∫−ππX(ejω)ejωkdω=n=−∞∑+∞x(n)∫−ππe−jωnejωkdω

根据 ① 式子的推导结果 ,

只有当 n=kn = kn=k 时 , ∫−ππe−jωn(e−jωn)∗dω=2π\int_{-\pi}^\pi e^{-j \omega n} (e^{-j \omega n}) ^* d \omega = 2\pi∫−ππe−jωn(e−jωn)∗dω=2π ,
当 n≠kn \not= kn=k 时 , ∫−ππe−jωn(e−jωn)∗dω=0\int_{-\pi}^\pi e^{-j \omega n} (e^{-j \omega n}) ^* d \omega = 0∫−ππe−jωn(e−jωn)∗dω=0 ,

∫−ππX(ejω)ejωkdω={2πx(k)n=k0n≠k\int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omega =\begin{cases}2\pi x(k) & n=k \\\\ 0 & n \not= k \end{cases}∫−ππX(ejω)ejωkdω=⎩⎪⎨⎪⎧2πx(k)0n=kn=k

将 2π2\pi2π 除到左边 , 即可得到下面的式子 :

x(n)=12π∫−ππX(ejω)ejωkdωx(n) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omegax(n)=2π1∫−ππX(ejω)ejωkdω

是 X(ejω)X(e^{j \omega})X(ejω) 的序列傅里叶反变换 ISFT ;

三、序列存在傅里叶变换的性质

x(n)x(n)x(n) 序列存在 " 序列傅里叶变换 SFT " 的充分条件是 " x(n)x(n)x(n)序列绝对可和 " :

∑n=−∞+∞∣x(n)∣<∞\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x(n)| < \inftyn=−∞∑+∞∣x(n)∣<∞

∣X(ejω)∣=∑n=−∞+∞x(n)e−jωn≤∑n=−∞+∞∣x(n)∣<∞|X( e^{j \omega } )| = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}x(n) e^{-j \omega n} \leq \sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x(n)| < \infty∣X(ejω)∣=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn≤n=−∞∑+∞∣x(n)∣<∞

注意上述是充分条件 ,

如果 " x(n)x(n)x(n)序列绝对可和 " , 则 " 序列傅里叶变换 SFT " 一定存在 ;
如果 " 序列傅里叶变换 SFT " 存在 , 不一定 " x(n)x(n)x(n)序列绝对可和 " ; 某些 " 非绝对可和序列 " , 引入广义函数 δ(ω)\delta(\omega)δ(ω) 后 , 其傅里叶变换也存在 ;

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一、序列傅里叶变换定义详细分析

二、证明单位复指数序列正交完备性

三、序列存在傅里叶变换的性质

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