【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 序列傅里叶变换与反变换 | 序列绝对可和 与 存在傅里叶变换之间的关系 | 序列傅里叶变换性质 )
文章目录
- 一、序列傅里叶变换与反变换
- 二、序列绝对可和 与 存在傅里叶变换之间的关系
- 三、序列傅里叶变换性质
一、序列傅里叶变换与反变换
在上一篇博客 【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 序列傅里叶变换定义详细分析 | 证明单位复指数序列正交完备性 | 序列存在傅里叶变换的性质 | 序列绝对可和 → 序列傅里叶变换一定存在 ) 的介绍了如下内容 :
傅里叶变换 : 时域 " 离散非周期 " 信号 , 其频域就是 " 连续周期 " 的 , 其频域 可以 展开成一个 " 正交函数的无穷级数加权和 " , 如下公式
X(ejω)=∑n=−∞+∞x(n)e−jωnX(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn
傅里叶反变换 : 利用 " 正交函数 " 可以推导出 " 傅里叶反变换 " , 即 根据 傅里叶变换 推导 序列 ;
x(n)=12π∫−ππX(ejω)ejωkdωx(n) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omegax(n)=2π1∫−ππX(ejω)ejωkdω
二、序列绝对可和 与 存在傅里叶变换之间的关系
序列绝对可和 与 存在傅里叶变换 :
- 如果 " x(n)x(n)x(n)序列绝对可和 " , 则 " 序列傅里叶变换 SFT " 一定存在 ;
- 如果 " 序列傅里叶变换 SFT " 存在 , 不一定 " x(n)x(n)x(n)序列绝对可和 " ; 某些 " 非绝对可和序列 " , 引入 广义函数 δ(ω)\delta(\omega)δ(ω) 后 , 其 傅里叶变换也存在 ;
序列绝对可和可以表示成 :
∑n=−∞+∞∣x(n)∣<∞\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x(n)| < \inftyn=−∞∑+∞∣x(n)∣<∞
三、序列傅里叶变换性质
x(n)x(n)x(n) 的傅里叶变换是 X(ejω)X(e^{j\omega})X(ejω) , 有如下性质 :
连续性 : 序列 x(n)x(n)x(n) 是离散的 , 其 傅里叶变换 X(ejω)X(e^{j\omega})X(ejω) 对 ω\omegaω 来说是连续的 ;
周期性 : X(ejω)X(e^{j\omega})X(ejω) 是周期的 , 其周期是 2π2\pi2π , 其主值区间为 [−π,π][- \pi , \pi][−π,π] ;
X(ejω)=X(ej(ω+2Mπ))X(e^{j\omega}) = X(e^{j( \omega + 2M\pi )})X(ejω)=X(ej(ω+2Mπ))
其中 MMM 是整数 ; e−jωne^{-j\omega n}e−jωn , 将 ω=2πM\omega = 2\pi Mω=2πM 带入即可得到其是以 2π2\pi2π 为周期的 ;
- 周期独立性 : 在 相同周期 内的 各个频率 彼此独立 , 频率列举 :
- 数字角频率域 , 即 ω\omegaω 域
- 直流分量角频率 在 ω=2Mπ\omega = 2M\piω=2Mπ , π\piπ 的偶数被上 ;
- 信号 最高角频率 在 ω=(2M+1)π\omega = (2M + 1 )\piω=(2M+1)π , π\piπ 的奇数倍 上 ;
数字角频率 ω\omegaω , 与 模拟角频率 Ω\OmegaΩ 之间的关系 :
ω=ΩT\omega = \Omega Tω=ΩT
直流就是 ω=2πf\omega = 2 \pi fω=2πf 中的 数字频率 f=0f = 0f=0 ;
直流的时候 , 数字频率 fff 为 000 , 则数字角频率 ω\omegaω 也为 000 ;
证明 " 直流分量角频率 在 ω=2Mπ\omega = 2M\piω=2Mπ " :
直流分量 角频率 在 π\piπ 的偶数倍上 , 角频率 是以 2π2\pi2π 为周期的 , 周期信号的 组织是 [−π,π][-\pi , \pi][−π,π] ,
在 横轴为 ω\omegaω 角频率 , 纵轴为 X(ejω)X(e^{j\omega})X(ejω) 的坐标系中 , 横坐标 ω=0\omega = 0ω=0 位置的值对应 ω=2π\omega = 2 \piω=2π 和 ω=−2π\omega = -2\piω=−2π , 这 333 个横坐标位置的纵坐标值相等 , 直流分量 永远在 π\piπ 的偶数倍上 ;
证明 " 最高频率分量 在 π\piπ 的奇数倍上 " :
根据 ω=ΩT\omega = \Omega Tω=ΩT , 计算 ω=π\omega =\piω=π 点对应的 模拟频率 ,
ω=ΩT=π\omega = \Omega T = \piω=ΩT=π
模拟角频率 Ω=πT\Omega = \cfrac{\pi}{T}Ω=Tπ , 其中 TTT 是采样周期 , 单位是秒 ;
则采样率 Fs=1TF_s = \cfrac{1}{T}Fs=T1 , 单位是 HzHzHz , 每秒采集多少样本 ;
Ω=πT=Ωs2\Omega = \cfrac{\pi}{T} = \cfrac{\Omega_s}{2}Ω=Tπ=2Ωs , 其中 Ωs\Omega_sΩs 是采样角频率 ;
模拟角频率是 Ω=2πf\Omega = 2\pi fΩ=2πf , 其中 Ω\OmegaΩ 是模拟角频率 , fff 是模拟频率 ;
Ωs=2πFs=2πT\Omega_s = 2\pi F_s = \cfrac{2\pi}{T}Ωs=2πFs=T2π
根据采样定理 , Ωs≥Ωmax\Omega_s \geq \Omega_{max}Ωs≥Ωmax , Ωs\Omega_sΩs 是采样角频率 要大于等于 Ωmax\Omega_{max}Ωmax 最高频率 ;
Ωmax\Omega_{max}Ωmax 最高频率 就是 Ωs2\cfrac{\Omega_s}{2}2Ωs , 其中 Ωs\Omega_sΩs 是采样角频率 ;
参考 【数字信号处理】基本序列 ( 正弦序列 | 数字角频率 ω | 模拟角频率 Ω | 数字频率 f | 模拟频率 f0 | 采样频率 Fs | 采样周期 T ) 博客 ;
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