【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 基本序列的傅里叶变换 | e^jωn 的傅里叶变换 )
文章目录
- 一、求 ejω0ne^{j \omega_0 n}ejω0n 傅里叶变换
- 1、傅里叶变换与反变换公式介绍
- 2、带入 傅里叶变换 公式
一、求 ejω0ne^{j \omega_0 n}ejω0n 傅里叶变换
求 ejω0ne^{j \omega_0 n}ejω0n 的傅里叶变换 SFT[ejω0n]SFT[e^{j \omega_0 n}]SFT[ejω0n] ?
1、傅里叶变换与反变换公式介绍
傅里叶变换 : 时域 " 离散非周期 " 信号 , 其频域就是 " 连续周期 " 的 , 其频域 可以 展开成一个 " 正交函数的无穷级数加权和 " , 如下公式
X(ejω)=∑n=−∞+∞x(n)e−jωnX(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn
傅里叶反变换 : 利用 " 正交函数 " 可以推导出 " 傅里叶反变换 " , 即 根据 傅里叶变换 推导 序列 ;
x(n)=12π∫−ππX(ejω)ejωkdωx(n) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omegax(n)=2π1∫−ππX(ejω)ejωkdω
2、带入 傅里叶变换 公式
将
ejω0ne^{j \omega_0 n}ejω0n
序列函数 , 带入到 傅里叶变换 公式
X(ejω)=∑n=−∞+∞x(n)e−jωnX(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn
中 ;
可以得到 :
SFT[ejω0n]=∑n=−∞+∞ejω0ne−jωnSFT[e^{j \omega_0 n}] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{j \omega_0 n} e^{-j \omega n}SFT[ejω0n]=n=−∞∑+∞ejω0ne−jωn
根据指数运算法则 , 可以得到如下式子 :
SFT[ejω0n]=∑n=−∞+∞e−j(ω−ω0)①SFT[e^{j \omega_0 n}] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{ -j ( \omega - \omega_0 ) } \ \ \ \ ①SFT[ejω0n]=n=−∞∑+∞e−j(ω−ω0) ①
在上一篇博客 【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 基本序列的傅里叶变换 | 求 1 的傅里叶变换 ) 中 , 求 111 的傅里叶变换得到如下公式 :
X(ejω)=∑n=−∞+∞e−jωn=2πδ~(ω)②X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{-j \omega n} = 2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega ) \ \ \ \ ②X(ejω)=n=−∞∑+∞e−jωn=2πδ(ω) ②
将 ② 带入到 ① 中 ,
SFT[ejω0n]=∑n=−∞+∞e−j(ω−ω0)=2πδ~(ω−ω0)SFT[e^{j \omega_0 n}] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{ -j ( \omega - \omega_0 ) } =2 \pi \widetilde{\delta} ( \omega - \omega_0 )SFT[ejω0n]=n=−∞∑+∞e−j(ω−ω0)=2πδ(ω−ω0)
其中 δ~(ω)\widetilde{\delta} ( \omega )δ(ω) 序列如下 , 这是以 2π2\pi2π 为周期的单位脉冲序列 , 在 2π2\pi2π 整数倍的位置上值为 111 ;
δ~(ω)\widetilde{\delta} ( \omega )δ(ω) 可以写成如下式子 :
δ~(ω)=∑m=−∞∞δ(ω−2πm)\widetilde{\delta} ( \omega ) = \sum_{m = -\infty}^{\infty} \delta( \omega - 2\pi m )δ(ω)=m=−∞∑∞δ(ω−2πm)
mmm 取值 (−∞,+∞)(-\infty , +\infty)(−∞,+∞) ;
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