蔡高厅高等数学 06 数列极限的定义、数列收敛的性质1

06 数列极限的定义 1.3 倍速
已给出数列{Un}和常数A，如果对于任意给定的正数a，都存在一个正整数N，使得对于n>N的一切Un，
不等式
|Un-A|<a
恒成立，则称n->∞ {Un}以A为极限，或{Un} 收敛与A
记为limUn=A 或 Un->A(n->∞)

说明：
1 定义当中的a 是任意给定的，只有任意给定的a |Un-A| < a 才能表述Un与A无限接近
2 定义中存在N ， N 与 a 有关，记为 N(a),随着 a 的确定，选定N。且N 不唯一
3 数列定义了只描述了 n-> ∞ Un->A, 没有提供求A的方法
4 定义的几何意义，任意给定了邻域N（A,a）,则一定存在一个N，则UN+1，UN+2，.....
,落在N(A,a)内

例1 证明：lim（2n+(-1)^n-1 / n） = 2 (n->∞) 16m

例2 证明: n->∞ (n-1)(2n-1)/6*n^2 = 1/3 22m

注意：利用数列极限的定义验证limUn=A(n->∞)
关键要知名定义中N确实存在。但是这个N 不一定非得要是最小的

例3 证明: lim(-1)^n/(n+1)^2 = 0

二。收敛数列的连个性质

定义 1 若数列{Un}的极限存在，则极限值是唯一的
练习习题 1,2,3

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