蔡高厅高等数学17-函数无穷小的比较、等价无穷小替换、函数的连续性

视频17
第五节无穷小的比较

讨论 α、β，都是同一个自变量做同一个变化过程中的无穷小， α、β的比也是同一个变化过程中的极限
<定义> 设 α、β是两个无穷小
如果limβ/a = 0 ,就是β 是比 α 高阶的无穷小记为 β = o(α)
如果limβ/α = ∞ 就说 β 是比α 低阶的无穷小
如果limβ/α = C <> 0 ,就说 β 与 α 是同阶的的无穷小，如果C=1 就说 α 与β 是等价无穷小记为 β~α

例如：当x->0 , x, x^2 ,x^2/2 , 1 - cosx, tanx 都是无穷小

1 、lim (1 - cosx ) / x^2 = 1 / 2 1-cosx~x^2/2
2 、lim tanx / x = 1 所以 tanx~x 当x->0 是等价无穷小

等价无穷小的代换定理
设 α ~ α' ，β~β’
且 limβ'/α' ，存在，则 lim β/α 存在，且 lim β/α = lim β'/α'

证明：

例1 求 lim（x->0） sinx^2 / x^2 + x^3
例2 求 lim(x->0) 1-cosx / tan(2x)^2
例3 求 lim（x->0） tanx-sinx/x^3

原则：无穷小之间如果是乘或者除可以替换，加减不行

当 u->0 , sinu~u ,tanu~u
arcsinu~u , arctanu~u
ln(1+u)~u , e^u ~u
1-cosu~u^2/2 ,sqr1+u ~u/2

习题2-5 4（1），（2）（4）（7）（8）（9）5

第6节连续函数
一、函数连续性的定义
变量u的增量，（改变量）Δu
变量u 由某一个初始值 u1变化到另一个值 u2，则称终值u2-终值u1为变量u在u1处的增量（该变量）
记为 Δu = u2 - u1

函数y=f(x)的增量 Δy, 设函数y=f(x),在N（x0）内有定义，自变量x从x0变化到x0+Δx 属于N(x0),
函数y=f（x）相应从f(x0)变化到f(x0+Δx),因此y=f(x)在x0 点出的增量为
Δy = f(x0 + Δx ) - f(x0)

函数y=f(x) 在一点出x0处连续性的定义

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