蔡高厅高等数学 09 函数的左右极限、无穷大量与无穷小量

09 视频

一自变量x 趋向于定值x0 f(x)的极限

limf(x)=A 定义 x -> x0

当从x0的左侧趋近与x0 （x<x0）,记为x->x0-0 或

左极限对于任意给定的ε>0,都存在 δ > 0 ,凡符合不等式
|f(x)-A|<ε , x0-δ < x < x0
右极限

limf(x)(x->x0)=A <==> 左右极限都为A

二自变量x趋向于无穷大（记为x->∞）,函数f(x) 的极限

定义：
设函数f（x）在|x| 充分大时有定义，
A为常数，如果对于任意给定的数 ε>0,都存在正数N，使对应的|x|>N对应的一切f（x）
满足|f(x)-A|<ε,则称x->∞时，f（x）以A为极限，记为lim(x)=A(x->∞)

x 趋于正负无穷大时， f（x）的极限
limf(x)=A (x->-∞)
limf(x)=A (x->∞) 的充分必要条件是 x 趋近正负无穷大极限为A

例1 证明 lim 1/1+x^2=0 (x->∞)
习题 2 1 （1）（3）（4） 2,3,6

三、无穷小量与无穷大量
1.无穷小
如果一个limf(x)=0 (x->x0、x->∞),则称 x->x0或x->∞,f(x) 是无穷小

用ε、δ 语言描述当x->x0 是， f(x) 是无穷小
用ε、N 语言描述当x->∞ 时， f(x) 是无穷小

注意 1 不能把很小的数当成0

2.无穷大
如果x->x0 或 x->∞，对应函数的值f(x)的绝对值|f(x)| 无限增大，则称x->x0 时（或x->∞）
则称f(x)是无穷大

对应任意给定的正数M > 0 , 无论M多大，总存在正数δ，凡适合0 < |x-x0|<δ,对应函数f(x)满足|f(x)|>M则称当x->x0 时， f(x)是无穷大，记为limf(x)=∞ (x->x0)

对应任意给定的正数M > 0 , 无论M多大，总存在正数N，凡适合|x| > N,对应函数f(x)满足|f(x)>M
则称当x->∞ 时， f(x)是无穷大，记为limf(x)=∞ (x->∞)

自学：正无穷大、负无穷大的定义

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