强连通分量

先来一题例题
- 题目大意
怎么做？
- 分析
- 结论
- 不要高兴得太早
怎么办呢？
- 定义
- 缩点法
- 原图构建新图
- 发现
- 新的结论
强连通分量算法
- Kosaraju算法
- Tarjan算法
例题：信息传递
- 分析
- 代码
其他题目

有向图的强连通分量。

先来一题例题

题目链接：http://poj.org/problem?id=2186
vjudge：https://vjudge.net/problem/POJ-2186

题目大意

有一群牛，总数为N(N<=10000)。
题目数据为牛之间的关系，比如说1仰慕2，2仰慕3等等，设这种仰慕是可以传递的，如果1仰慕2，那么1也会同时仰慕2仰慕的那些牛。(关系数e<=50000)
如果一头牛被所有的牛都仰慕，那么它将是最受欢迎的牛。
问有多少牛是"最受欢迎的"。

样例数据：

本例数据中最受欢迎的牛为D牛，E牛。

怎么做？

显然，采用floyd传递闭包方法简单模拟可以解决此问题。时间复杂度o（n^3）。
枚举所有点，反向dfs深度优先遍历图。用邻接表存储边，每次搜索时间复杂度o（n+e），总复杂度o（n*（n+e））。
但是由于数据量巨大（n=10000），这两种做法超时的可能性很大。
那么有没有更好的做法呢？

分析

首先让我们考虑问题的简化版本——有向图没有环路的情况，也就是说：
不存在一条仰慕路线，可以从一头牛出发，再回到该牛。即不存在牛互相仰慕的情况。
如果有最受欢迎的牛存在，为保证该牛被所有的牛都仰慕，这个有向图将是连通图，最受欢迎的牛不会仰慕其他牛，即他的出度为零。
最受欢迎的牛被其他所有牛仰慕，即出度为零的点应有且仅有一个。

结论

这让我们就将简化版问题给解决了~
首先，统计出图中出度为0的点。
如果这样的点只有一个，那么从该点出发反向dfs遍历图。如果可以遍历所有点，那么说明这个点就是题目要求的点。
时间复杂度o（n+e）。

不要高兴得太早

上面的结论在有环图是否适用呢？

很可惜，结论不成立。
因为大牛可以互相仰慕，所以若最受欢迎的牛与其他牛互相仰慕，这些牛都是最受欢迎的牛。这样，满足条件的点出度可能不为0，也不止有一个。

怎么办呢？

现在，强连通分量算法出场的时候到了。

定义

下面给出强连通分量的定义：
有向图中, u可达v不一定意味着v可达u. 相互可达则属于同一个强连通分量
Strongly Connected Component，简称SCC

根据定义，在上题中，一组互相仰慕的牛就构成了一个强连通分量（一个大牛）。

缩点法

求出强连通分量有什么用呢？
我们可以将每个强连通分量看作一个内外隔绝的包裹，忽略包裹内部的冗余边，并将这个包裹同外部点的相连的边保留，将其打包压缩成一个新的点存储下来。
最后再利用这些新的点重新建图。
这就是缩点法。

原图构建新图

强连通分量A,B,C压缩成点S1
强连通分量F,G压缩成点S2
强连通分量D,E压缩成点S3

发现

新图与原图有什么不同？
因为强连通分量全部被压缩成点，新图将一定是一张有向无环图。
而对有向无环图的问题结论我们之前已经得出了。

新的结论

很容易得到新的结论：
利用强连通分量的缩点法构建新图，在新图中如果只有一个出度为0的点且该点与其他所有点连通，那么这个强连通分量中的所有点就是题目要求的点。

下面的问题，就是如何求强连通分量了。

强连通分量算法

求强连通分量有三种算法，分别是Kosaraju算法，Gabow算法和Tarjan算法，时间复杂度均为o（n+e）。
其中Kosaraju算法要对原图和逆图都进行一次DFS，另外两种算法只要DFS一次， Gabow算法是Tarjan算法的改进。

下面简单介绍Kosaraju算法。

Kosaraju算法

我们继续借助DFS，如上图所示，如果从f开始DFS，我们就可以得到包含f和g的一棵DFS树，然后从c出发，得到c和d和h，再从a出发，得到a和e和b，这样我们每次就可以得到一个SCC，如上图所示.

遗憾的是，并不是每个顺序都是“好用”的，如果一开始就不幸选择了从a开始进行遍历，这颗DFS树将包含整个图，也就是说，这次不明智的DFS把所有SCC混在了一起，什么也得到，很明显，我们希望按照SCC图拓扑顺序的逆序进行遍历，这样才能每次DFS得到一个SCC，而不会把两个或者多个SCC混在一起。

于是，我们先对原图进行一次DFS，记录每个点结束递归（出栈）的时间，然后再按照出栈的顺序从晚到早依次对原图的逆图进行DFS，这样每次得到的连通块就是一个强连通分量。

算法步骤：

对有向图进行DFS，记录下顶点变黑的时间A[i]。
改变图G 的每一条边的方向，生成新图GT。
按上次DFS 顶点变黑的时间A[i]由大到小顺序对GT进行DFS。遍历结果构成森林W 。
W 中每棵树的结点构成了有向图的一个强连通分量。

DFS：

在演示之前，重新介绍DFS深度优先搜索为结点着色以表示结点的状态的过程。
每个顶点开始均为白色。
搜索中被发现时置为灰色。
结束时又被置成黑色(即当其邻接表被完全检索之后)。

演示：
对G进行dfs，记录下顶点变黑时间A[i]。

得到A[i]从大到小的顺序：
F G A C D E B
改变图G 的每一条边的方向，生成新图GT
按A[i]由大到小顺序F G A C D E B对GT进行第二次DFS
得到森林w
FG||ACB||DE

根据森林w
FG||ACB||DE
由每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。得到已拓扑有序的强连通分量
S2||S1||S3

总结：
对某些题目，内部点之间的联系不会和外部点作用而影响到结果，那么强连通分量可以缩成一点，考虑为一个整体。
缩点可以简化构图（有环图变无环图），这样更容易发掘出各个强连通分量外部之间的规律。

void dfs(int k) {low[k]=dfn[k]=++cnt;s.push(k); //k点入栈for(int i=h[k]; i!=-1; i=e[i].nt) {int v=e[i].to;if(!dfn[v]) {dfs(v);low[k]=min(low[k],low[v]);} else if(!belong[v]) low[k]=min(low[k],low[v]);//如果v被标记，但是还不属于任何一个SCC，则v还在栈里}if(low[k]==dfn[n]) {scc++;for(;;) { //不断弹出栈里的点int x=s.top();s.pop();belong[x]=scc; //编号if(x==k) break;}}
}

Tarjan算法

伟大的Tarjan又给我们提供了一种求强连通分支的方法，通过dfn和low数组，轻而易举的解决了这个问题。

任何一个强连通分量，必定是对原图的深度优先搜索树的子树。若强连通分量C中第一个被发现的是x，则C中其他点都是x的后代。我们希望在x访问完成时立刻输出C，这样就可以在同一棵DFS树种区分开所有SCC了，因此问题关键，是判断一个点是否是一个SCC中最先被发现的点。

void dfs(int x) {dfn[x]=low[x]=++t;s[++top]=x;for(int i=h[x]; i!=-1; i=e[i].nt) {int v=e[i].to;if(!dfn[v]) {dfs(v);low[x]=min(low[x],low[v]);} else if(!bl[v]) low[x]=min(low[x],dfn[v]);}if(low[x]==dfn[x]) {scc++;while(1) {int v=s[top--];bl[v]=scc;sz[scc]++;if(v==x) break;}}
}

例题全代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>#define R                  register int
#define re(i,a,b)          for(R i=a; i<=b; i++)
#define ms(i,a)            memset(a,i,sizeof(a))using namespace std;typedef long long ll;int const N=10005;
int const M=50005;struct Edge {int to,nt;
} e[M<<1];int cnt,n,m,t,scc,top;
int h[N],bl[N],sz[N],dfn[N],d[N],s[N],low[N];inline void add(int a,int b) {e[cnt].to=b;e[cnt].nt=h[a];h[a]=cnt++;
}void dfs(int x) {dfn[x]=low[x]=++t;s[++top]=x;for(int i=h[x]; i!=-1; i=e[i].nt) {int v=e[i].to;if(!dfn[v]) {dfs(v);low[x]=min(low[x],low[v]);} else if(!bl[v]) low[x]=min(low[x],dfn[v]);}if(low[x]==dfn[x]) {scc++;while(1) {int v=s[top--];bl[v]=scc;sz[scc]++;if(v==x) break;}}
}int main() {scanf("%d%d",&n,&m);ms(-1,h);while(m--) {int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);add(x,y);}for(int i=1; i<=n; i++) if(!dfn[i]) dfs(i);for(int i=1; i<=n; i++) for(int j=h[i]; j!=-1; j=e[j].nt) {int x=i,y=e[j].to;if(bl[x]==bl[y]) continue;d[bl[x]]++;}int t=n+1;for(int i=1; i<=scc; i++) if(d[i]==0) {if(t==n+1) t=i;else t=0;}cout << sz[t] << endl;return 0;
}

例题：信息传递

「NOIP2015提高」信息传递
题目链接：
LOJ：https://loj.ac/problem/2421
UOJ：http://uoj.ac/problem/146
Luogu：https://www.luogu.com.cn/problem/P2661
计蒜客：https://nanti.jisuanke.com/t/T2026
51Nod：https://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#problemId=2849
vjudge：https://vjudge.net/problem/LibreOJ-2421

分析

把整个传递的过程看成是一个有向图，每个点最多只有一条出边，每个点可能有多条入边，缩点以后，我们发现答案就在每个强连通分支里面，又由于边的性质(每个点最多只有一条出边，可能有多条入边），那么每个强连通分支一定是一个简单的环(没有环套环).

方法1：可以直接o(n)循环找环
方法2：先拓扑排序，然后剩下的都是环
方法3：求每个点数不为一的强连通分支里面的最小点数

代码

代码不贴了，给个直通车：https://loj.ac/submission/809581

其他题目

HDU-1269 判断一个图是否是强连通的
链接：HDU vjudge

HDU-3072 强连通后缩点，DAG的最小树形图
链接：HDU vjudge

POJ-2186 求多少点可以被其他点到达(明星奶牛)
链接：POJ vjudge

HDU-5934 缩点后找入读为0的强连通块中最小的值累加
链接：HDU vjudge

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链接：POJ vjudge

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链接：LibreOJ-2590 计蒜客-T2095 vjudge

POJ-2553 The Bottom of a Graph（alpc OJ 1274）(基础)
链接：POJ vjudge

POJ-1236 Network of Schools (基础)
链接：POJ vjudge

POJ-2762 Going from u to v or from v to u? （中等，弱连通分量）
链接：POJ vjudge

POJ-3160 Father Christmas flymouse(难，DP题)
链接：POJ vjudge

POJ-1904 King‘s Quest (难，推荐，非缩点，匹配思想与强连通分量的转化)
链接：POJ vjudge 题解

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