泊松分布在管理中应用

——管理运筹学补充资料之五

管理实务中的泊松分布

等式右端给出的概率分布，是又一种重要的离散型分布：

设 是一个正整数， ，则有

泊松分布

n重贝努里(Bermoulli)试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.

一、泊松分布的定义及图形特点

设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为：

…

历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的 .

近数十年来，泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一.

在实际中，许多随机现象服从或近似服从泊松分布.

二、二项分布与泊松分布

泊松,法国数学家，1781年6月21日生于法国卢瓦雷省皮蒂维耶，1840年 4月25日卒于法国索镇。

泊松在青年时期曾学过医学，后因喜好数学，于1798年入巴黎综合工科学校深造。毕业时，因研究论文优秀而被指定为讲师，1806年任该校教授，1809年任巴黎理学院力学教授，1812年当选为巴黎科学院院士。

泊松的科学生捱开始于研究微分方程及其在摆的运动和声学理论中的应用。他工作的特色是应用数学方法研究各类物理问题，并由此得到数学上的发现。他对积分理论、行星运动理论、热物理、弹性理论、电磁理论、位势理论和概率论都有重要贡献。他一生共发表300多篇论著。

由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.

我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件.

如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等

在自然界和人们的现实生活中,经常要遇到在随机时刻出现的某种事件.我们把在随机时刻相继出现的事件所形成的序列,叫做随机事件流.

若事件流具有平稳性、无后效性、普通性，则称该事件流为泊松事件流(泊松流).

三、泊松分布产生的一般条件

下面简要解释平稳性、无后效性、普通性.

平稳性:

在任意时间区间内，事件发生k次(k≥0)的

概率只依赖于区间长度而与区间端点无关.

无后效性:

普通性:

在不相重叠的时间段内，事件的发生是相

互独立的.

如果时间区间充分小，事件出现两次或两次以上的概率可忽略不计.

都可以看作泊松流.

某电话交换台收到的电话呼叫数；

到某机场降落的飞机数;

一个售货员接待的顾客数;

一台纺纱机的断头数;

…

例如

对泊松流，在任意时间间隔(0,t)内,事件

(如交通事故)出现的次数服从参数为 t 的

泊松分布 . 称为泊松流的强度.

在运筹学中的随机存储问题中，经常要借助Ｐoisson Distribution,解决决策问题。

例1 一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数λ=5的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？

解:

设该商品每月的销售数为X,

已知X服从参数λ=5的泊松分布.

设商店在月底应进某种商品m件,

求满足

P(X≤m)>0.95

的最小的m .

进货数

销售数

求满足

P(X≤m)>0.95

的最小的m.

查泊松分布表得

P(X>m) ≤ 0.05

也即

于是得 m+1=10,

m=9件

求解泊松分布可以查表，也可以利用微机轻松算得。

ＥＸＣＥＬ的函数可以方便计算泊松分布的密度值和概率值。

包括泊松分布在内的各种分布的感性认识要掌握。参考《分布概率表》

POISSON(x,mean,cumulative)

语法：

X    事件数。

Mean    期望值。

Cumulative    为一逻辑值，确定所返回的概率分布形式。如果 cumulative 为 TRUE，函数 POISSON 返回泊松累积分布概率，即，随机事件发生的次数在 0 到 x 之间(包含 0 和 1)；如果为 FALSE，则返回泊松概率密度函数，即，随机事件发生的次数恰好为 x。