繁星数学随想录·笔记卷

积分卷

定积分换元谬误

例题01
- ∫02π(1−cos⁡t)3dt\int_{0}^{2 \pi}(1-\cos t)^{3}\ d t∫02π(1−cost)3 dt，令 1−cos⁡t=a,t∈(0,2π),t=arccos⁡(1−a),a∈(0,0)1-\cos t=a,t\in(0,2\pi),t=\arccos(1-a),a\in(0,0)1−cost=a,t∈(0,2π),t=arccos(1−a),a∈(0,0)
- 由于 arccos⁡x\arccos xarccosx 函数的值域限制，即函数取不到 2π2\pi2π ，所以该换元是不成立的
- 以同济教材表述的换元积分法为例，同济表述：
  
  假设函数 f(x)f(x)f(x) 在区间 [a,b][a, b][a,b] 上连续，函数 x=φ(t)x=\varphi(t)x=φ(t) 满足条件：
  
  (1) φ(α)=a,φ(β)=b\varphi(\alpha)=a, \varphi(\beta)=bφ(α)=a,φ(β)=b；
  
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