定积分的计算（换元法）

2024-05-08 02:08:09

前置知识

第一类换元法（凑微分法）
第二类换元法
牛顿-莱布尼茨公式

定积分换元法

设 f f f在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续， φ \varphi φ在 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]上可导且导数连续， x = φ ( t ) x=\varphi(t) x=φ(t)在 [ α , β ] [ \alpha,\beta] [α,β]上的值域包含于 [ a , b ] [a,b] [a,b]，且 φ ( α ) = a , φ ( β ) = b \varphi(\alpha)=a,\varphi(\beta)=b φ(α)=a,φ(β)=b，则

∫ a b f ( x ) d x = ∫ α β f ( φ ( t ) ) φ ′ ( t ) d t \int_a^bf(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f(\varphi(t))\varphi'(t)dt ∫abf(x)dx=∫αβf(φ(t))φ′(t)dt

证明： 因为 f f f在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续，所以 f f f在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上有原函数 F ( x ) F(x) F(x)，而 F ( φ ( t ) ) F(\varphi(t)) F(φ(t))是 f ( φ ( t ) ) φ ′ ( t ) f(\varphi(t))\varphi'(t) f(φ(t))φ′(t)的原函数，由此可得

∫ α β f ( φ ( t ) ) φ ′ ( t ) d t = F ( φ ( t ) ) ∣ α β = F ( x ) ∣ a b = ∫ a b f ( x ) d x \int_{\alpha}^{\beta}f(\varphi(t))\varphi'(t)dt=F(\varphi(t))\bigg\vert_{\alpha}^{\beta}=F(x)\bigg\vert_a^b=\int_a^bf(x)dx ∫αβf(φ(t))φ′(t)dt=F(φ(t)) αβ=F(x) ab=∫abf(x)dx

例题1

计算 ∫ 0 1 ( 2 x + 1 ) 2 d x \int_0^1(2x+1)^2dx ∫01(2x+1)2dx

解：原式 = 1 2 ∫ 0 1 ( 2 x + 1 ) 2 d ( 2 x + 1 ) = 1 6 ( 2 x + 1 ) 3 ∣ 0 1 = 13 3 =\dfrac 12\int_0^1(2x+1)^2d(2x+1)=\dfrac 16(2x+1)^3\bigg\vert_0^1=\dfrac{13}{3} =21∫01(2x+1)2d(2x+1)=61(2x+1)3 01=313

例题2

计算 ∫ 1 e 1 x ( 1 + ln ⁡ x ) d x \int_1^e\dfrac{1}{x(1+\ln x)}dx ∫1ex(1+lnx)1dx

解：原式 = ∫ 1 e 1 1 + ln ⁡ x d ( 1 + ln ⁡ x ) = ln ⁡ ∣ 1 + ln ⁡ x ∣ ∣ 1 e = ln ⁡ 2 =\int_1^e\dfrac{1}{1+\ln x}d(1+\ln x)=\ln|1+\ln x|\bigg\vert_1^e=\ln 2 =∫1e1+lnx1d(1+lnx)=ln∣1+lnx∣ 1e=ln2

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