一、生成函数线性性质

生成函数线性性质 1 :

bn=αanb_n = \alpha a_nbn=αan , 则 B(x)=αA(x)B(x) = \alpha A(x)B(x)=αA(x)

数列 ana_nan 的生成函数是 A(x)A(x)A(x) , 数列 bnb_nbn 的生成函数是 B(x)B(x)B(x) ,

如果 bnb_nbn 数列是 ana_nan 数列的 α\alphaα 倍 , 那么对应的生成函数也存在对应的关系 ;

证明方法 : 将两边展开 , 根据定义代入即可 ;

二、生成函数线性性质2

生成函数线性性质 2 :

cn=an+bnc_n = a_n + b_ncn=an+bn , 则 C(x)=A(x)+B(x)C(x) = A(x) + B(x)C(x)=A(x)+B(x)

数列 ana_nan 的生成函数是 A(x)A(x)A(x) , 数列 bnb_nbn 的生成函数是 B(x)B(x)B(x) , 数列 cnc_ncn 的生成含税是 C(x)C(x)C(x) ,

数列和的生成函数 , 等于生成函数的和 ;

一个数列是其它数列的线性组合 , 那么将其生成函数进行相应的组合 , 也能求出大的数列的生成函数 ;

证明方法 : 将两边展开 , 根据定义代入即可 ;

三、生成函数乘积性质

生成函数乘积性质 :

cn=∑i=0naibn−ic_n = \sum\limits_{i=0}^n a_i b_{n-i}cn=i=0∑naibn−i , 则有 C(x)=A(x)⋅B(x)C(x) = A(x) \cdot B(x)C(x)=A(x)⋅B(x)

数列 ana_nan 的生成函数是 A(x)A(x)A(x) , 数列 bnb_nbn 的生成函数是 B(x)B(x)B(x) , 数列 cnc_ncn 的生成含税是 C(x)C(x)C(x) ,

数列 ana_nan 的生成函数 : A(x)=a0+a1x+a2x2+⋯A(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdotsA(x)=a0+a1x+a2x2+⋯

数列 bnb_nbn 的生成函数 : B(x)=b0+b1x+b2x2+⋯B(x) = b_0 + b_1x + b_2x^2 + \cdotsB(x)=b0+b1x+b2x2+⋯

数列 cnc_ncn 的生成函数 : C(x)=c0+c1x+c2x2+⋯C(x) = c_0 + c_1x + c_2x^2 + \cdotsC(x)=c0+c1x+c2x2+⋯

右边的两个生成函数 A(x)A(x)A(x) 和 B(x)B(x)B(x) 相乘 :

(a0+a1x+a2x2+⋯)×(b0+b1x+b2x2+⋯)(a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots) \times ( b_0 + b_1x + b_2x^2 + \cdots )(a0+a1x+a2x2+⋯)×(b0+b1x+b2x2+⋯)

按照多项式乘法 ,

x0x^0x0 , 000次方项 , 即常数项, 构成方法有 111 种 , 两个生成函数中的常数项 , 相乘之后是 a0b0a_0 b_0a0b0 ,

x1x^1x1 , 111次方项 , 构成方法有 222 种 ,

A(x)A(x)A(x) 中的 a1xa_1xa1x 与 B(x)B(x)B(x) 中的 b0b_0b0 , 构成 x1x^1x1 一次方项 a1b0xa_1b_0xa1b0x ;
A(x)A(x)A(x) 中的 a0a_0a0 与 B(x)B(x)B(x) 中的 b1xb_1xb1x , 构成 x1x^1x1 一次方项 a0b1xa_0b_1xa0b1x ;

x1x^1x1 , 111次方项的系数是 a1b0+a0b1a_1b_0 + a_0b_1a1b0+a0b1 , 完整的 111次方项是 (a1b0+a0b1)x(a_1b_0 + a_0b_1)x(a1b0+a0b1)x

x2x^2x2 , 222 次方项 , 构成方法有 333 种 ,

A(x)A(x)A(x) 中的 a0a_0a0 与 B(x)B(x)B(x) 中的 b2x2b_2x^2b2x2 , 构成 x2x^2x2 , 222次方项 a0b2x2a_0b_2x^2a0b2x2 ;
A(x)A(x)A(x) 中的 a2x2a_2x^2a2x2 与 B(x)B(x)B(x) 中的 b0b_0b0 , 构成 x2x^2x2 , 222次方项 a2b0x2a_2b_0x^2a2b0x2 ;
A(x)A(x)A(x) 中的 a1xa_1xa1x 与 B(x)B(x)B(x) 中的 b1xb_1xb1x , 构成 x2x^2x2 , 222次方项 a1b1x2a_1b_1x^2a1b1x2 ;

x2x^2x2 , 222次方项的系数是 a0b2+a2b0+a1b1a_0b_2 + a_2b_0 + a_1b_1a0b2+a2b0+a1b1 , 完整的 222次方项是 (a0b2+a2b0+a1b1)x2(a_0b_2 + a_2b_0 + a_1b_1)x^2(a0b2+a2b0+a1b1)x2

规律 : xxx 的 nnn 次方项 , 其系数是 ∑i=0naibn−i\sum\limits_{i=0}^n a_i b_{n-i}i=0∑naibn−i , 由 n+1n+1n+1 项组成 , 每一项的 ai,bn−ia_i,b_{n-i}ai,bn−i 下标之和是 nnn ;

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【组合数学】生成函数 ( 线性性质 | 乘积性质 )

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